工厂组长无权私自开除员工。劳动关系的解除有着严格的法定程序和条件限制，工厂组长作为基层管理人员，并不具备直接开除员工的决策权。以下从多个角度对此问题进行详细分析：
一、劳动关系的解除权限
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动关系的解除必须遵循法定程序和条件，由用人单位（即企业本身）依法作出决定。工厂组长作为企业的基层管理人员，其职责并不包括直接开除员工。若组长随意宣布开除员工，这种行为是无效的，不能产生解除劳动关系的法律效力。
二、合法解除劳动合同的情形
用人单位在以下情况下可以依法解除劳动合同：
在这些情形下，用人单位可以解除劳动合同，且不需要支付经济补偿金。但即便如此，解除劳动合同的决定也应由用人单位依法作出，而非由工厂组长个人决定。
在这些情况下，用人单位需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付劳动者一个月工资后，方可解除劳动合同。同样，这一决定也应由用人单位依法作出。
三、违法解除劳动合同的后果
如果用人单位无故辞退员工或未按照法定程序解除劳动合同，则视为违法解除劳动合同。此时，员工有权要求继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已不能继续履行，用人单位应按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
四、工厂组长的正确做法
工厂组长在管理员工时，应注重沟通与协调，努力寻求问题的解决方案。如果认为某员工存在应被开除的情形，应向上一级管理层提出相关建议，并由用人单位依法依规进行处理。这样既能维护企业的正常管理秩序，又能确保员工的合法权益得到保障。
五、实际案例与法律建议
在实际操作中，曾有工厂组长因擅自开除员工而被员工起诉至法院的案例。法院最终判决工厂组长的行为无效，并要求用人单位支付赔偿金。因此，我建议工厂组长在管理过程中应严格遵守相关法律法规和公司内部规定，确保员工管理的合法性和合理性。如果遇到员工管理问题，应及时与上级管理层或人力资源部门沟通，共同寻求解决方案。
综上所述，工厂组长无权私自开除员工。劳动合同的解除必须遵循法定的程序和条件，由用人单位依法作出决定。工厂组长在管理过程中应遵守相关法律法规和公司内部规定，确保员工管理的合法性和合理性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。