结论：能否追究对方责任，需根据具体情况判断，主要看对方是否存在过错以及该过错与打伤行为之间的因果关系。以下从不同角度为你详细分析：

对方存在过错且与打伤行为有因果关系

1. 法律背景：在人格权侵权领域，一般遵循过错责任原则，即行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。如果对方存在过错行为，比如先对打人者进行辱骂、挑衅等，导致打人者情绪激动进而将其打伤，那么对方的行为与打伤结果之间就存在因果关系。
2. 法律建议：在这种情况下，打人者或其家属可以收集相关证据，如现场的监控视频、证人证言等，证明对方存在过错以及该过错与打伤行为之间的因果关系，然后向法院提起诉讼，要求对方承担相应的民事赔偿责任，赔偿范围可能包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾的，还可以要求赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还可以要求赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
3. 可能法律后果：若证据充分，法院会支持打人者或其家属的诉求，判决对方承担相应的赔偿责任。但如果对方能够证明自己没有过错或者打人者的自杀行为中断了因果关系（即自杀行为是独立于打伤行为之外的、导致损害结果扩大的因素），那么对方可能不需要承担全部或部分责任。

对方不存在过错或过错与打伤行为无因果关系

1. 法律背景：如果对方不存在任何过错行为，打人者是因为自身情绪失控、精神疾病等原因无故将对方打伤，那么对方在法律上没有过错，不应当承担侵权责任。另外，即使对方存在一定过错，但该过错与打伤行为之间没有直接的因果关系，比如对方只是正常地与打人者交流，打人者却突然动手打人，之后又自杀，此时对方也不应承担打伤行为的责任。
2. 法律建议：在这种情况下，打人者或其家属很难要求对方承担民事赔偿责任。不过，如果打人者已经死亡，其家属可能需要自行承担打人行为所产生的一些后果，比如如果打人者有财产，可能需要用其财产来支付对方的医疗费用等合理损失（如果对方提起诉讼并获得法院支持的话）。
3. 可能法律后果：法院会认定对方不承担责任，打人者或其家属的诉求不会被支持。如果对方因此遭受了损失，反而可以向打人者或其家属主张赔偿（在打人者有遗产的情况下）。

关于自杀行为的法律影响

自杀行为本身是一个独立的行为，一般情况下，他人不需要为自杀者的自杀行为承担法律责任。但如果他人存在教唆、帮助自杀等行为，则可能需要承担相应的刑事责任和民事赔偿责任。在你所描述的情况中，如果对方没有教唆、帮助打人者自杀，那么对方的自杀行为不会影响对打伤行为责任的认定。

进一步思考依据：在处理此类案件时，关键在于证据的收集和因果关系的认定。证据能够证明对方是否存在过错以及过错与损害结果之间的关系，而因果关系的认定则决定了对方是否需要承担责任以及承担责任的范围。因此，如果遇到此类情况，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自身合法权益。如果你还有其他疑问，可以直接向我咨询。