关于私底下约定协议的表述方式，关键在于确保协议内容明确、合法且具备可执行性。以下是从不同角度为你详细分析的协议表述要点及建议：
一、协议内容明确性
条款清晰：协议中的各项条款应当表述清晰，避免使用模糊或歧义的语言。例如，对于交易金额、履行期限、违约责任等关键内容，应明确具体数值或计算方式，以及相应的权利义务。
双方信息完整：协议中应包含双方当事人的完整信息，包括姓名、身份证号码（或统一社会信用代码）、联系方式等，以便在需要时能够准确联系到对方。
目的明确：协议应明确约定双方达成协议的目的，以及各自希望实现的具体目标。这有助于在协议履行过程中，双方能够保持一致的理解和行动。
二、协议合法性
遵守法律法规：协议内容必须遵守国家法律法规的规定，不得违反公序良俗或损害社会公共利益。例如，协议中不得约定非法交易、逃避税收等违法内容。
不侵犯第三方权益：协议双方应确保协议内容不侵犯第三方的合法权益，如知识产权、隐私权等。否则，可能引发法律纠纷，影响协议的履行。
三、协议可执行性
约定履行方式：协议中应明确约定双方履行协议的具体方式，如交付方式、支付方式等。这有助于确保协议能够顺利履行，减少因履行方式不明确而产生的争议。
设定违约责任：协议中应设定明确的违约责任条款，包括违约金的数额或计算方式、赔偿损失的范围等。这有助于在一方违约时，另一方能够依据协议条款维护自己的合法权益。
争议解决方式：协议中可以约定争议解决的方式，如协商、调解、仲裁或诉讼等。这有助于在协议履行过程中发生争议时，双方能够迅速、有效地解决争议，避免损失扩大。
四、协议表述示例
以下是一个简单的私底下约定协议的表述示例，供你参考：
“甲方（姓名/名称）：_____，身份证号码/统一社会信用代码：__，联系方式：_____；
乙方（姓名/名称）：_____，身份证号码/统一社会信用代码：__，联系方式：_____；
鉴于双方就________事项达成一致意见，特订立本协议如下：
一、交易内容：甲方同意向乙方出售/提供_____，乙方同意购买/接受_____。
二、交易金额：双方约定交易金额为人民币_____元（大写：_____元整）。
三、履行期限：甲方应于_____年__月__日前完成交付/提供义务，乙方应于收到货物/服务后_____日内支付全部款项。
四、违约责任：如一方违反本协议约定，应向对方支付违约金人民币_____元（大写：_____元整），并赔偿因此给对方造成的全部损失。
五、争议解决：如双方在本协议履行过程中发生争议，应首先通过友好协商解决；协商不成的，任何一方均有权向________（仲裁机构/法院）提起仲裁/诉讼。
六、其他条款：________（根据实际情况添加其他必要条款）。
本协议一式两份，甲乙双方各执一份，自双方签字/盖章之日起生效。”
建议：在私底下约定协议时，务必确保协议内容明确、合法且具备可执行性。如果协议内容复杂或涉及重要权益，建议咨询专业律师进行审查和修改，以确保协议的有效性和可执行性。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。