结论：网监部门是否可以调取培训机构保留三天的监控，主要取决于监控内容是否涉及案件调查需要、调取程序是否合法以及相关法律法规的规定。在一般情况下，如果监控内容与案件相关且调取程序合法，网监部门是有可能调取的。
分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》等相关法律规定，公安机关（包括网监部门）在侦查犯罪时，有权依法采取技术侦查措施，包括调取监控录像等，以收集犯罪证据。
- 同时，《中华人民共和国网络安全法》等法律法规也规定了网络运营者（包括培训机构）在配合公安机关调查时的义务，如提供必要的支持和协助。
监控内容的相关性：
- 网监部门调取监控的前提是监控内容与正在调查的案件相关。如果培训机构保留的三天监控中包含了与案件有关的信息，如犯罪嫌疑人的行踪、作案过程等，那么网监部门有权调取。
- 如果监控内容与案件无关，或者无法证明其与案件有直接联系，那么网监部门通常不会调取。
调取程序的合法性：
- 网监部门在调取监控时，必须遵循法定程序，如出示调取证据通知书、说明调取理由和范围等。
- 培训机构也有权要求网监部门出示相关法律文书，并核实其合法性。如果网监部门无法提供合法手续，培训机构有权拒绝调取。
实际操作中的考虑：
- 在实际操作中，网监部门可能会根据案件的紧急程度和重要性，以及监控内容的保存期限等因素，来决定是否调取。
- 如果监控内容已经因为保存期限到期而被自动删除，或者培训机构因为技术原因无法提供监控录像，那么网监部门可能无法调取。
建议：
- 如果培训机构担心监控内容被非法调取或滥用，可以加强监控系统的安全管理，如设置访问权限、加密存储等。
- 在接到网监部门的调取通知时，培训机构应仔细核实通知的合法性，并按照要求提供监控录像。如果认为调取行为不合法或存在疑问，可以及时向法律专业人士咨询或寻求法律援助。
- 如果培训机构因为监控内容被调取而面临法律纠纷或诉讼，应及时收集相关证据，如调取通知、监控录像等，并咨询专业律师以维护自身合法权益。
后续行动：
- 如果您作为培训机构负责人或相关人员，对网监部门调取监控的具体程序或法律依据有疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律解释和建议。
- 如果您认为网监部门的调取行为存在违法行为或侵犯了您的合法权益，也可以向我咨询如何维护自身权益。