保外就医是针对在服刑期间患有严重疾病，需要外出就医的罪犯所采取的一种暂予监外执行的措施。其执行过程需要遵循严格的法律程序和条件，以下我将为您详细介绍保外就医的执行流程：

一、保外就医的条件

根据相关法律规定，被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，在以下情形下可以准予保外就医：

1. 身患严重疾病，短期内有死亡危险的；
2. 身体残疾，生活难以自理的；
3. 年老多病，已失去危害社会可能的。

同时，也有一些罪犯根据法律规定是不准保外就医的，比如被判处死刑缓期二年执行的罪犯在死刑缓期执行期间的，罪行严重、民愤很大的，以及服刑期间自伤自残的。

二、保外就医的审批程序

1. 提出申请：罪犯如需保外就医，首先应由监区讨论通过，并报狱政科审查。初审同意后，会进行病残鉴定。

2. 病残鉴定：罪犯的疾病鉴定由监狱派人带领罪犯到省人民政府指定的医院进行。医院会组织有关科室医生成立鉴定小组，负责出具鉴定文件，并附诊断、辅助诊断等证明文件。

3. 征求意见：在呈报保外就医之前，监狱应征求罪犯家属所在地公安机关的意见，公安机关应当及时回复。同时，对罪犯的保外就医必须有担保人。

4. 审批决定：监狱接到罪犯被批准保外就医的决定后（这一决定通常由监狱审查后报省监狱管理局批准），会及时通知担保人。担保人需要向监狱交纳保证金后，才能办理出监手续。

三、针对您亲戚的具体情况

根据您描述的情况，您的亲戚因脸部癌变扩散，且监狱治疗条件不够，需要送往长沙治疗。如果他的病情符合上述保外就医的条件，即身患严重疾病且短期内有死亡危险，那么他是可以申请保外就医的。

接下来，您需要按照上述审批程序进行操作：首先由娄底监狱提出书面意见，并报湖南省监狱管理局批准。在审批过程中，您需要配合监狱提供相关的医疗证明和担保人信息。

四、注意事项

1. 保外就医是暂予监外执行的一种情形，罪犯在保外就医期间仍需遵守相关法律规定和监管要求。
2. 担保人需要承担一定的责任和义务，确保罪犯在保外就医期间不逃避法律制裁和监管。
3. 如果罪犯的病情得到好转或者不再符合保外就医的条件，监狱有权将其收回继续服刑。

希望以上解答能够帮助您更好地了解保外就医的执行流程和相关条件。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时咨询。