核心结论：赔偿问题需根据双方过错程度、伤情鉴定结果及实际损失综合判定，一般包括医疗费、护理费等合理费用，若构成伤残还需赔偿残疾赔偿金。以下是具体分析：

1. 责任划分是赔偿的前提
   根据《民法典》第1199条，无民事行为能力人（8周岁以下）或限制民事行为能力人（8-18周岁）在学校受伤，学校未尽到教育、管理职责的需承担责任。

   • 若学校能证明已尽到管理职责（如及时制止、通知家长、送医等），则由双方监护人根据过错比例分担责任；
     
   • 若学校存在过错（如监控缺失、教师未在场等），可能需承担补充责任。
     举例：若一方先动手，另一方反击导致抓伤，先动手方监护人可能承担主要责任（如70%），学校因未及时制止承担次要责任（如30%）。

2. 赔偿范围需以实际损失为依据
   根据《民法典》第1188条，监护人需赔偿对方因伤产生的合理费用，包括：

   • 医疗费：凭医院发票、病历等凭证报销；
     
   • 护理费：若伤者需家长陪同就医或护理，可按当地护工标准主张；
     
   • 交通费：就医产生的合理交通费用；
     
   • 营养费：根据医嘱或伤情酌情主张；
     
   • 疤痕修复费：若抓伤导致面部疤痕，可主张后续整形费用（需鉴定必要性）。
     注意：若伤情构成轻伤二级以上，可能涉及刑事责任，但12周岁儿童不承担刑事责任，仅需民事赔偿。

3. 协商与诉讼的解决路径

   • 协商：建议双方监护人优先通过学校调解或自行协商，明确责任比例和赔偿金额，签订书面协议；
     
   • 诉讼：若协商不成，可向法院起诉，需提供伤情鉴定报告、医疗记录、费用凭证等证据。法院会根据过错程度、因果关系等综合判决。
     提示：若伤者未做伤情鉴定，可先报警并要求派出所委托鉴定，鉴定结果直接影响赔偿金额。

行动建议：

1. 立即带伤者就医并保留所有票据；
   
2. 通过学校调取监控或寻找目击证人，固定事发经过；
   
3. 协商时明确责任比例，避免口头承诺；
   
4. 若协商无果，及时委托律师介入，通过法律途径解决。
   

如有进一步细节（如伤情照片、学校处理情况等），可随时补充说明，我会为您分析具体方案。