结论：老师在学校不小心弄伤学生，费用由谁负责需根据具体情况判断，主要涉及教育机构是否尽到教育、管理职责以及是否存在过错等因素。以下从不同角度进行分析：
一、教育机构责任的一般原则
根据《中华人民共和国民法典》第一千二百条：“限制民事行为能力人在学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害，学校或者其他教育机构未尽到教育、管理职责的，应当承担侵权责任。” 这意味着，如果教育机构未能尽到其应尽的教育、管理职责，导致学生受到伤害，教育机构应当承担相应的赔偿责任。
二、老师不小心弄伤学生的具体情况分析
老师行为属于职务行为：
- 如果老师是在执行职务过程中，即在教学过程中或执行学校安排的其他任务时，不小心弄伤学生，那么这通常被视为教育机构的责任。因为老师的行为是代表教育机构进行的，教育机构应当对其员工的职务行为负责。
- 赔偿主体：在此情况下，赔偿主体通常是教育机构，即学校。学校应当根据其过错程度，承担相应的赔偿责任，包括医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入（如果涉及学生家长误工的话，但通常学生无误工费）。
老师行为非职务行为或存在故意、重大过失：
- 如果老师的行为并非在执行职务过程中，或者老师存在故意或重大过失导致学生受伤，那么情况可能有所不同。虽然教育机构仍可能因管理不善而承担一定责任，但老师个人也可能需要承担部分或全部责任。
- 赔偿主体：在此情况下，赔偿主体可能包括教育机构和老师个人。具体责任划分需根据实际情况和法院判决来确定。如果老师的行为构成犯罪，如故意伤害罪，那么老师还将承担刑事责任。
三、实际案例与法律适用
- 在实际案例中，法院会综合考虑多种因素来确定责任划分，包括教育机构的管理制度、老师的行为性质、学生的年龄和认知能力、伤害发生的具体情境等。
- 如果教育机构能够证明其已经尽到了教育、管理职责，且老师的伤害行为是意外事件或无法预见、无法避免的，那么教育机构可能不承担赔偿责任或承担较少的赔偿责任。
四、建议与措施
教育机构应加强管理：
- 教育机构应建立健全的安全管理制度，加强对老师的教育和培训，提高老师的安全意识和责任意识。
- 教育机构应定期对学生进行安全教育，提高学生的自我保护能力。
发生伤害事件后的处理：
- 一旦发生学生受伤事件，教育机构应立即采取措施救治学生，并通知学生家长。
- 教育机构应积极配合相关部门进行调查，查明事故原因和责任划分。
- 如果教育机构认为自身无责任或责任较小，应收集相关证据以支持其主张。
家长应如何维权：
- 如果家长认为教育机构或老师应承担赔偿责任，可以与教育机构协商解决；协商不成的，可以向人民法院提起诉讼。
- 在维权过程中，家长应保留好相关证据，如医疗记录、费用单据、证人证言等。
总结：老师在学校不小心弄伤学生，费用由谁负责需根据具体情况判断。如果老师的行为属于职务行为且教育机构未尽到管理职责，则教育机构应承担赔偿责任；如果老师的行为非职务行为或存在故意、重大过失，则老师和教育机构可能共同承担责任。在实际操作中，建议根据具体情况咨询专业律师以获取更准确的法律意见。