结论：私生子的母亲，在特定情况下，确实能法定继承财产，但这主要取决于她是否作为配偶或子女等法定继承人的身份，以及被继承人的遗产分配情况。不过，更常见且直接的情况是，私生子（非婚生子女）本人依法享有继承其亲生父母财产的权利，且这一权利与婚生子女同等。下面我将从几个角度详细分析这一问题。
一、私生子（非婚生子女）的继承权
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。
- 《民法典》第一千一百二十七条进一步规定，遗产继承的第一顺序包括配偶、子女、父母。此处的“子女”明确涵盖了非婚生子女，确保了他们在法定继承中的平等地位。
继承权详解：
- 在法定继承情况下，非婚生子女作为第一顺序继承人，与婚生子女等其他继承人共同参与遗产分配，且一般应当均等分配。
- 若被继承人立有合法有效的遗嘱，遗嘱中对非婚生子女的遗产分配安排应得到尊重。但若遗嘱未为非婚生子女保留必要的遗产份额，法律要求为其保留必要份额后再按照遗嘱进行分配。
二、私生子母亲的继承权
作为配偶的继承权：
- 如果私生子的母亲与被继承人存在婚姻关系，即她是被继承人的配偶，那么她自然作为第一顺序继承人享有继承权。
作为非配偶的继承权：
- 如果私生子的母亲与被继承人不存在婚姻关系，她通常不直接享有继承被继承人财产的权利。但在某些特殊情况下，如她对被继承人尽了主要扶养义务，可能根据《民法典》的相关规定，作为对被继承人扶养较多的人适当分得遗产。不过，这种情况并非法定继承，而是基于公平原则的适当分配。
三、实践中的注意事项
亲子关系证明：
- 在涉及非婚生子女的继承权时，可能需要提供出生证明、亲子鉴定报告等证据来证明其与被继承人的亲子关系。
遗嘱的效力：
- 如果被继承人立有遗嘱，应仔细审查遗嘱的内容，确保非婚生子女的继承权益得到尊重。若遗嘱存在瑕疵或不符合法律规定，可能引发继承纠纷。
四、建议与总结
- 对于私生子及其母亲：如果面临继承问题，建议首先收集并整理相关证据，如出生证明、亲子关系证明等，以证明继承权益。同时，咨询专业律师以了解具体的法律程序和策略。
- 对于被继承人：如果希望确保非婚生子女的继承权益，可以在遗嘱中明确安排，或者通过其他法律手段（如设立信托）来保障他们的利益。
总结：私生子的母亲在特定情况下能法定继承财产，但这主要取决于她是否作为配偶或对被继承人尽了主要扶养义务等身份。不过，更直接且常见的是，私生子本人依法享有继承其亲生父母财产的权利，且这一权利与婚生子女同等。在处理继承问题时，建议咨询专业律师以确保合法权益得到充分保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。