结论：抓嫖过程中警察若提出私了，这种行为本身是不合法的，且私了的情况通常不会有正式的、合法的记录。但需注意，私了可能涉及其他法律风险和后果。
详细分析：
警察行为的合法性：
- 警察在执行公务时，必须严格遵守法律法规，包括刑事诉讼法、治安管理处罚法等相关规定。抓嫖是警察的执法行为之一，应当依法进行，包括依法传唤、询问、取证等程序。
- 私了，即双方私下协商解决，通常不是警察执法行为的合法方式。警察在执法过程中，不能私下与当事人达成协议，以替代或规避正式的执法程序。
私了记录的存在性：
- 如果警察提出私了，并且双方确实进行了私下协商，那么这种协商过程通常不会有正式的、合法的记录。因为私了本身就不是一种合法的执法方式，所以不会留下正式的执法记录。
- 然而，如果私了过程中涉及金钱交易或其他不当行为，这些行为可能构成其他违法犯罪，如受贿、行贿等，这些行为一旦被发现，将会受到法律的制裁，并可能留下相关的违法犯罪记录。
私了可能涉及的法律风险和后果：
- 对于涉嫖人员来说，私了可能并不能真正解决问题。即使双方达成了私下协议，但如果被其他执法机关或公众发现，仍然可能面临法律制裁和社会舆论的压力。
- 对于警察来说，私了行为严重违反了执法纪律和职业道德，一旦被发现，将会受到纪律处分，甚至可能构成犯罪，如滥用职权罪、受贿罪等。
建议：
- 如果您或他人遇到抓嫖情况，应当积极配合警察的执法行为，如实陈述事实，不要试图通过私了等方式逃避法律制裁。
- 如果您认为警察的执法行为存在不当之处，可以向相关部门进行投诉或举报，以维护自己的合法权益和社会的公平正义。
- 在任何情况下，都不要试图通过非法手段解决问题，以免给自己和他人带来不必要的法律风险和后果。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会尽我所能为您提供专业的法律意见和帮助。