收养手续遗失后，可以通过以下方式证明父子关系，我会分情况详细说明：

1. 向原办理收养登记的民政部门申请补办或出具证明
   根据《中国公民收养子女登记办法》第九条，收养关系成立后，收养人应当妥善保管收养登记证。若遗失，可向原办理收养的民政部门申请补办，或要求其出具收养关系证明文件。这是最直接、权威的证明方式，民政部门会通过档案查询、核实收养事实后出具书面证明，效力等同于原收养证。

2. 通过司法鉴定确认生物学关系（辅助证明）
   若收养手续完全遗失且民政部门无法补办，可通过DNA亲子鉴定排除生物学父子关系后，结合其他证据间接证明收养关系。例如：

• 共同生活证明（如户口本、居委会/村委会出具的共同生活证明、邻居证言）；
  
• 抚养教育证据（如学校入学记录、医疗记录、生活开支凭证等）；
  
• 公开以父子名义活动的证据（如合影、通信记录、社交平台公开信息等）。
  需注意：司法鉴定仅能排除生物学关系，无法直接证明收养关系，需与其他证据形成完整链条。

1. 通过法院确认收养关系（诉讼途径）
   若民政部门无法补办证明且其他证据不足，可向法院提起确认收养关系之诉。根据《民法典》第一千一百零五条，收养需向县级以上民政部门登记，但若收养事实发生在《民法典》施行前（2021年1月1日前），且符合当时法律条件（如1992年《收养法》或1998年修订版），法院可依据事实收养关系予以确认。诉讼时需提交：
   

• 共同生活、抚养教育的证据（如前述）；
  
• 证人证言（如亲属、邻居、老师等）；
  
• 其他能证明收养合意的材料（如书面协议、口头协议的录音等）。
  法院判决确认后，可凭判决书作为父子关系的法定证明。

行动建议：

1. 优先联系原办理收养的民政部门，申请补办或出具证明；
   
2. 若民政部门无法处理，收集共同生活、抚养教育等证据，必要时做DNA鉴定排除生物学关系；
   
3. 若证据充分，可直接凭民政证明或法院判决书办理户口、继承等事务；若证据不足，建议委托律师协助调查取证后提起诉讼。
   

如有具体证据或场景需要分析，可进一步向我说明，我会结合实际情况提供更详细的建议。