结论：在此情况下，您一般不能直接告对方构成某种具体的犯罪，但可以考虑通过民事途径追究其诬告陷害等行为的民事责任，或者如果对方行为情节严重，构成诬告陷害罪的，您可以向公安机关报案，要求追究其刑事责任。以下是对此问题的详细分析：
一、关于刑事责任的追究
诬告陷害罪的认定：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百四十三条的规定，捏造事实诬告陷害他人，意图使他人受刑事追究，情节严重的，构成诬告陷害罪。
- 在您的情况下，如果对方明知是生病死亡，却故意向派出所报案称是故意谋杀，且这种行为导致您被错误地追究刑事责任，或者给您造成了其他严重后果，那么对方的行为可能构成诬告陷害罪。
刑事责任的追究程序：
- 如果您认为对方的行为构成诬告陷害罪，您应该向公安机关报案，由公安机关进行立案侦查。
- 公安机关在侦查过程中，会收集证据，查明事实真相，如果确实构成犯罪，会将案件移送检察机关审查起诉。
- 检察机关审查后，如果认为证据确实、充分，会向人民法院提起公诉，由人民法院进行审判。
二、关于民事责任的追究
民事侵权责任的认定：
- 即使对方的行为不构成诬告陷害罪，但如果其故意捏造事实，对您进行了诬告，导致您的名誉权等受到损害，那么对方的行为可能构成民事侵权。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，您可以要求对方承担停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉以及赔偿损失等民事责任。
民事责任的追究程序：
- 如果您认为对方的行为构成民事侵权，您可以向人民法院提起民事诉讼，要求对方承担民事责任。
- 在诉讼过程中，您需要提供证据证明对方的行为确实对您造成了损害，以及损害的程度和范围。
- 人民法院会根据事实和法律规定，作出判决，要求对方承担相应的民事责任。
三、建议与注意事项
收集证据：
- 在追究对方责任的过程中，证据是至关重要的。您应该尽可能收集与对方诬告行为相关的证据，如报案记录、法医鉴定报告、证人证言等。
咨询专业律师：
- 由于法律问题的复杂性和专业性，我建议您在处理此类问题时咨询专业律师（当然，您可以直接向我咨询，我专注于刑事辩护和婚姻家庭领域）。律师可以根据您的具体情况，为您提供专业的法律意见和帮助。
保持冷静与理性：
- 在面对此类问题时，保持冷静与理性是非常重要的。不要因为情绪激动而做出过激的行为或言论，以免给自己带来不必要的麻烦。
综上所述，虽然您不能直接告对方构成某种具体的犯罪（除非其行为确实构成诬告陷害罪），但您可以通过民事途径追究其民事责任。同时，我也建议您在处理此类问题时咨询专业律师，以确保您的权益得到充分保护。