结论：特大刑事案件20年未侦破，一般情况下不可以直接申请国家赔偿，但存在例外情形可能符合申请条件。以下分情况详细说明：
一、常规情况：未侦破案件不符合国家赔偿的直接条件
根据《中华人民共和国国家赔偿法》第十七条，刑事赔偿的范围主要包括以下情形：
- 错误拘留：对没有犯罪事实或没有事实证明有犯罪重大嫌疑的人错误拘留；
- 错误逮捕：对没有犯罪事实的人错误逮捕；
- 刑讯逼供或暴力取证：以殴打、虐待等行为或唆使他人殴打、虐待等行为造成公民身体伤害或死亡；
- 违法使用武器、警械：违法使用武器、警械造成公民身体伤害或死亡；
- 错误判决：再审改判无罪，原判刑罚已经执行。
关键点：国家赔偿的核心是“司法机关的违法行为”导致公民权益受损。若案件未侦破，说明司法机关尚未作出最终处理（如判决有罪），且未侦破本身不直接等同于“违法行为”。因此，单纯因案件未侦破，通常无法直接申请国家赔偿。
二、例外情形：若存在司法机关违法行为，可能符合赔偿条件
若在侦查过程中，司法机关存在以下违法行为，且该行为与公民权益受损存在直接因果关系，可申请国家赔偿：
- 超期羁押：对犯罪嫌疑人采取刑事拘留、逮捕等强制措施后，未依法延长羁押期限或未及时变更强制措施，导致超期羁押；
- 违法查封、扣押、冻结财产：侦查过程中违法对公民财产采取强制措施，且未依法解除或返还；
- 其他侵权行为：如刑讯逼供、暴力取证等导致公民身体伤害或死亡。
举例：若侦查机关对某人采取刑事拘留措施后，因证据不足未提请逮捕，但未依法释放或变更强制措施，导致其被超期羁押多年，此时可申请国家赔偿。
三、申请国家赔偿的程序与注意事项
- 赔偿义务机关：一般为作出违法行为的司法机关（如公安局、检察院）；
- 申请时效：自知道或应当知道国家机关及其工作人员行使职权时的行为侵犯其人身权、财产权之日起2年内提出；
- 证据要求：需提供证据证明司法机关存在违法行为，且该行为与损害结果存在因果关系（如超期羁押的拘留决定书、未解除财产强制措施的证明等）；
- 救济途径：若赔偿义务机关拒绝赔偿，可向其上一级机关申请复议，或直接向法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。
四、建议与总结
- 核实是否存在违法行为：若案件未侦破，但侦查过程中存在超期羁押、违法查封财产等行为，可依法申请赔偿；
- 及时咨询专业律师：国家赔偿案件涉及程序复杂、证据要求高，建议委托律师协助梳理案情、收集证据并提交申请；
- 关注时效问题：国家赔偿申请有2年时效限制，需尽快行动以避免丧失权利。
若您有具体案情或需要进一步分析，可直接向我咨询，我会结合实际情况为您提供详细解答。