您作为配偶，发现妻子与他人育有子女，可通过以下两种主要途径追究责任：

1. 主张离婚损害赔偿
   根据《民法典》第1091条，若妻子与他人同居并生育子女，属于“重大过错导致离婚”的情形。您可在离婚诉讼中同时主张损害赔偿，赔偿范围包括精神损害抚慰金（通常为5000-50000元，具体由法院根据过错程度、经济能力等酌定）及因对方过错导致的财产损失（如共同财产被转移用于抚养私生子女的部分）。需注意：需在离婚诉讼中一并提出，若未离婚单独主张损害赔偿，法院不予受理。

2. 追究重婚罪刑事责任（需满足严格条件）
   若妻子与他人以夫妻名义共同生活（如公开以“夫妻”身份参加社交活动、共同生育子女并登记在同一户口本等），可能构成《刑法》第258条重婚罪，处2年以下有期徒刑或拘役。但司法实践中认定标准严格，需收集以下证据：

   • 双方以夫妻名义共同生活的证人证言（如邻居、亲友的书面证言）；
     
   • 共同生育子女的出生证明（显示父母信息）；
     
   • 共同居住的物业证明、水电费缴纳记录；
     
   • 公开场合的亲密照片、视频等。
     提示：若仅是偶尔同居或秘密生育，通常不构成重婚罪，仅能通过民事途径解决。

操作建议：

• 立即收集证据：包括妻子与他人的亲密照片、视频、聊天记录、子女出生证明等，尤其注意固定“以夫妻名义共同生活”的证据；
  
• 咨询律师制定策略：根据证据充分程度决定是优先主张离婚损害赔偿，还是同步推进刑事控告；
  
• 关注财产保护：若怀疑妻子转移财产用于抚养私生子女，可申请诉前财产保全，冻结共同财产。
  

特别提醒：若您选择继续维持婚姻关系，则无法主张离婚损害赔偿，但可要求妻子书面承诺不再与第三者联系，并可通过《民法典》第1043条“夫妻忠诚义务”主张其违反约定（但该条款无强制执行力，主要作为道德约束）。

如有进一步证据或具体情节需要分析，可直接向我说明，我会结合细节为您制定更精准的应对方案。