结论：警察出警时双方互相谩骂，是否构成公然侮辱，需结合具体情境和法律规定来判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、公然侮辱的构成要件
根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条的规定，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。构成公然侮辱，通常需要满足以下几个要件：
- 公然性：侮辱行为必须在不特定多数人面前进行，或者在不特定人能够感知的范围内进行。
- 侮辱性：行为必须具有侮辱性质，即贬低他人人格、损害他人名誉。
- 主观故意：行为人必须具有侮辱他人的故意。
二、警察出警时双方互相谩骂的具体分析
公然性的判断：
- 如果警察出警时，双方在公共场所（如街道、广场等）互相谩骂，且周围有不特定多数人围观或能够感知到，那么这种行为可能具有公然性。
- 如果双方在相对封闭的空间（如室内、私人场所等）互相谩骂，且没有不特定多数人围观或能够感知到，那么这种行为可能不具有公然性。
侮辱性的判断：
- 谩骂的内容如果涉及对他人人格、名誉的贬低和损害，如使用侮辱性语言、恶意攻击等，那么这种行为具有侮辱性。
- 如果谩骂的内容只是情绪化的表达，没有直接贬低他人人格或损害他人名誉，那么这种行为可能不构成侮辱。
主观故意的判断：
- 如果双方互相谩骂是出于故意贬低对方人格、损害对方名誉的目的，那么这种行为具有主观故意。
- 如果双方只是因为情绪激动而互相指责，没有故意贬低或损害对方名誉的意图，那么这种行为可能不具有主观故意。
三、特殊情境下的考虑
- 警察的职责和形象：警察作为执法者，在出警时应当保持冷静和克制，避免与当事人发生冲突。如果警察在出警时与当事人互相谩骂，不仅可能损害警察的形象和权威，还可能引发更严重的社会问题。
- 当事人的行为：如果当事人在警察出警时故意挑衅、辱骂警察，那么这种行为可能构成对警察的侮辱或妨碍公务。警察有权依法采取措施制止这种行为，并可能对当事人进行处罚。
四、法律建议
- 对于警察：在出警时应当保持冷静和克制，避免与当事人发生冲突。如果当事人有辱骂等不当行为，应当依法采取措施制止，并记录相关证据以便后续处理。
- 对于当事人：在警察出警时应当配合警察的工作，避免与警察发生冲突。如果认为警察的行为不当或有异议，可以通过合法途径提出申诉或投诉。
总结：警察出警时双方互相谩骂是否构成公然侮辱，需结合具体情境和法律规定来判断。如果双方在公共场所互相谩骂且具有侮辱性质和主观故意，那么可能构成公然侮辱。如有具体法律问题，可以直接向我咨询。