结论：能否打官司赢取决于多个因素，包括抱养行为的合法性、垫钱行为的性质以及证据的充分性等，不能简单判断一定能赢或一定不能赢。以下从不同角度为你详细分析：

抱养行为的合法性角度

1. 合法抱养情况：如果抱养行为符合《民法典》中关于收养的规定，办理了合法的收养手续，那么抱养关系是受法律保护的。在这种情况下，你为抱养孩子垫钱，如果是基于合法的抚养义务或者双方有明确的约定（比如对方承诺会偿还垫付款项），那么你主张对方还钱是有法律依据的。例如，你和对方签订了书面协议，明确约定你为孩子垫付医疗费等费用，对方在一定期限内偿还，那么在有充分证据（如协议、付款凭证等）的情况下，你打官司赢的可能性较大。
2. 非法抱养情况：如果抱养行为没有办理合法手续，违反了相关法律法规，那么抱养关系可能不受法律保护。在这种情况下，你为抱养孩子垫钱的行为可能会被认定为一种自愿的帮助行为，对方可能以此为由拒绝还钱。不过，如果对方在垫钱时明确表示会偿还，且有相关证据证明，你仍然有可能通过法律途径追回垫付款项，但难度会相对较大。

垫钱行为的性质角度

1. 借贷关系：如果你和对方明确约定你垫的钱是借款，对方需要按照约定偿还，那么这就构成了一个借贷关系。在这种情况下，你需要有证据证明双方存在借贷合意，比如借条、聊天记录、录音等，以及证明你已经实际交付了款项，如转账记录、付款凭证等。如果有充分的证据，你打官司赢的可能性很大。
2. 赠与关系：如果你垫钱时没有明确表示是借款，而是出于自愿帮助对方的目的，那么可能会被认定为赠与关系。根据法律规定，赠与人在赠与财产的权利转移之前可以撤销赠与，但一旦赠与完成，除非存在法定撤销情形（如严重侵害赠与人或者赠与人近亲属的合法权益、对赠与人有扶养义务而不履行等），否则赠与人不能要求受赠人返还财产。所以，如果被认定为赠与关系，你打官司要求对方还钱可能会面临较大困难。

证据的充分性角度

无论上述哪种情况，证据都是打官司的关键。你需要收集能够证明你主张的证据，如书面协议、聊天记录、转账记录、付款凭证、证人证言等。如果证据充分、确凿，能够形成一个完整的证据链，那么你打官司赢的可能性就会大大增加；反之，如果证据不足或者存在瑕疵，可能会影响法院的判决结果。

孩子健康问题的影响

孩子缺氧不健康这一情况本身并不直接影响你能否要回垫付款项，但如果对方以此为由主张你存在过错或者要求你承担一定责任，可能会对案件产生一定影响。例如，如果对方能够证明孩子的健康问题是由于你的过错导致的，并且这一过错与垫钱行为存在关联，那么可能会在一定程度上减轻对方的还款责任。不过，这种情况需要对方提供充分的证据予以证明。

建议：你可以先收集相关证据，如上述提到的书面协议、聊天记录、转账记录等，然后尝试与对方协商解决。如果协商不成，你可以向法院提起诉讼。在诉讼过程中，要积极配合法院的调查和审理工作，提供充分的证据支持自己的主张。如果你对具体的法律程序和证据收集等方面存在疑问，可以直接向我咨询。