当私人企业单方面辞退员工时，赔偿的具体情况和标准主要依据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规来确定。以下是对此问题的详细解答：
一、合法辞退及赔偿标准
合法辞退通常包括以下几种情形，且每种情形下的赔偿标准有所不同：
双方协商一致解除合同：
- 在这种情况下，企业需按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
劳动者存在过错：
- 如劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等，企业可以依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
无过失性辞退：
- 包括劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能胜任原工作及另行安排的工作、劳动者经培训或调岗后仍不能胜任工作、因客观情况重大变化导致合同无法履行且协商未果等。
- 在此情况下，企业需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资作为代通知金，并按照劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿，标准同上。
二、违法辞退及赔偿标准
如果企业未依法解除合同，如无充分依据、程序违规或辞退受保护员工等，则构成违法辞退。在此情况下，企业需按照合法辞退经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，若合法辞退应支付4个月工资的经济补偿金，则违法解除时需支付8个月工资的赔偿金。
三、特殊注意事项
月工资定义：
- 月工资指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若工作时间不足十二个月，则按实际工作的月数计算平均工资。
高工资限制：
- 若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍，计算经济补偿金的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且补偿年限最高不超过十二年。
程序合法性：
- 企业在辞退员工时，必须确保程序的合法性，包括提前书面通知、与工会沟通等，以避免潜在的法律风险。
个税处理：
- 经济补偿金在当地职工平均工资3倍以内的部分免税，超出部分需按个人所得税规定缴纳。
争议解决：
- 若劳动者对补偿金额有异议，可向劳动仲裁机构申请仲裁或提起诉讼，以维护自己的合法权益。
结论
综上所述，私人企业在单方面辞退员工时，应严格遵守相关法律法规，确保辞退行为的合法性和合理性。根据辞退的具体情形，企业需按照规定的标准向员工支付相应的经济补偿或赔偿金。同时，企业也应注意程序的合法性和个税处理等相关事项，以避免潜在的法律风险。如果劳动者对辞退或赔偿有疑问，建议咨询专业律师或劳动仲裁机构以获取更具体的帮助。