结论：公司是否可以不再续签与60岁退休员工之间的劳动合同，这主要取决于员工是否已经开始享受基本养老保险待遇或达到法定退休年龄，并且具体情况还需结合劳动合同的约定以及地方性法规来综合判断。
分析说明：
法定退休年龄与享受养老保险待遇：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同终止。这意味着，如果员工已经达到法定退休年龄并且开始享受养老保险待遇，公司通常不需要再续签劳动合同。
- 然而，如果员工虽然达到法定退休年龄，但尚未开始享受养老保险待遇（例如，因缴费年限不足等原因），则劳动合同的终止可能并不自动发生。此时，是否续签劳动合同可能需要根据双方协商和地方性法规来确定。
劳动合同的约定：
- 劳动合同是双方自愿达成的协议，其中可能包含关于劳动合同终止和续签的具体条款。如果劳动合同中明确规定了员工达到一定年龄或条件时劳动合同自动终止或不再续签，那么公司可以依据这些条款来处理。
- 但需要注意的是，劳动合同的约定不能违反法律法规的强制性规定。例如，如果劳动合同中的条款试图剥夺员工依法享受养老保险待遇的权利，那么这些条款将是无效的。
地方性法规的考虑：
- 在某些地区，可能存在关于退休年龄和劳动合同续签的地方性法规或政策。这些法规或政策可能对公司的决策产生影响。
- 因此，在决定是否续签与60岁退休员工之间的劳动合同时，公司还需要考虑并遵守当地的相关法规和政策。
特殊场景：
- 如果员工虽然达到法定退休年龄，但公司希望继续留用该员工，并且双方也愿意继续签订劳动合同，那么这是完全可以的。此时，双方可以签订劳务合同或其他形式的协议来明确双方的权利和义务。
- 另外，如果员工因工作需要或个人原因希望延迟退休，并且公司也同意，那么双方可以通过协商来延长劳动合同期限或签订新的劳动合同。
行动建议：
- 对于公司：在决定是否续签与60岁退休员工之间的劳动合同时，应首先确认员工是否已经开始享受基本养老保险待遇或达到法定退休年龄，并检查劳动合同中是否有相关约定。同时，还需要考虑并遵守当地的相关法规和政策。
- 对于员工：如果面临公司不再续签劳动合同的情况，应了解自己的权益和可能的救济途径。例如，可以与公司协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等。
法律后果：
- 如果公司违反法律法规或劳动合同的约定不再续签劳动合同，可能需要承担相应的法律责任，如支付经济补偿金等。
- 如果员工认为公司的决策侵犯了自己的合法权益，可以通过法律途径来维护自己的权益。
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