肇事者逃逸而交警队未及时处理时，您可以通过以下途径推动问题解决：

1. 明确交警队的法定职责与处理时限
   根据《道路交通事故处理程序规定》，交警部门应在接报后立即派员赶赴现场，对逃逸案件需在12小时内制作《事故认定书》，对需要检验鉴定的案件应在3日内委托鉴定，并在鉴定结论确定后5日内制作《事故认定书》。若交警未履行上述程序，您有权要求其出具书面说明，明确未处理的原因及预计处理时间。

2. 通过内部监督机制督促处理

   • 向上级部门投诉：若交警存在拖延、推诿等不作为行为，可向其上级公安机关交通管理部门（如市公安局交通管理局）提交书面投诉材料，附上事故证据（如现场照片、监控录像、证人联系方式等），要求上级部门督促办案单位限期处理。
     
   • 申请行政复议：若交警部门明确拒绝处理或逾期未作出处理决定，您可在知道该行为之日起60日内向同级人民政府或上级交警部门申请行政复议，请求撤销原不作为行为并责令重新处理。

3. 同步推进民事赔偿与刑事追责

   • 民事赔偿途径：若您已掌握肇事车辆信息（如车牌号），可向法院提起民事诉讼，申请诉前财产保全冻结肇事方资产，并通过法院调查令获取肇事者身份信息。即使肇事者未归案，您仍可先就已知损失（如医疗费、车辆维修费）主张赔偿，后续发现新损失可另行起诉。
     
   • 刑事报案：逃逸行为已涉嫌交通肇事罪（《刑法》第133条），若交警未立案侦查，您可直接向当地公安机关刑侦部门报案，要求对肇事者进行刑事立案。刑事立案后，公安机关将动用技术手段追查肇事者下落，这可能比单纯等待交警处理更高效。

4. 特殊情形下的应对策略

   • 证据不足时：若因监控缺失、目击者不愿作证等导致证据不足，可申请交警部门发布协查通报，或通过媒体、社交平台公开征集线索（需注意保护他人隐私）。
     
   • 肇事者已归案但未赔偿：若肇事者被抓获但拒不赔偿，您可在刑事诉讼中提起附带民事诉讼，要求法院判决肇事者承担赔偿责任，并申请强制执行其财产（如房产、工资、养老金等）。

行动建议：

• 立即整理所有事故证据（包括报警回执、现场照片、医疗记录等），形成书面材料提交给交警部门，并要求其签收确认；
  
• 若7日内未收到书面处理意见，直接向上级交警部门或同级政府信访部门投诉；
  
• 同步咨询律师，评估是否需要申请诉前财产保全或提起刑事自诉（在公安机关不立案时）。
  

逃逸案件的处理需要多部门协同，您需主动推动流程，避免因被动等待导致权益受损。如有进一步证据或程序疑问，可随时向我补充说明，我会为您分析具体应对方案。