私生子自出生时起就享有继承权。以下是对这一问题的详细解释：
法律背景
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女（即私生子）与婚生子女享有同等的法律地位，包括继承权。这意味着，无论子女是婚生还是非婚生，他们在法律上都被视为平等的个体，享有相同的权利和义务。
继承权的确定
法定继承：在法定继承的情况下，非婚生子女与婚生子女一样，都是第一顺序的法定继承人。他们有权继承父母的遗产，且继承份额通常与其他第一顺序继承人相等。
遗嘱继承：如果父母通过遗嘱指定了继承人，非婚生子女同样有权按照遗嘱继承遗产。当然，这取决于遗嘱的具体内容，以及是否违反了法律的强制性规定（如必须为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产份额）。
实际案例与解释
在实际生活中，非婚生子女的继承权可能会受到一些挑战或争议。例如，其他继承人可能会质疑非婚生子女的身份或继承权。在这种情况下，非婚生子女可以通过法律途径来维护自己的权益，如通过亲子鉴定来证明自己的身份，或者通过诉讼来确认自己的继承权。
法律建议
保留证据：对于非婚生子女来说，保留与生父母之间的亲子关系证据是非常重要的。这些证据可以包括出生证明、亲子鉴定报告、与生父母的通信记录等。
及时主张权利：如果非婚生子女发现自己的继承权受到侵害，应及时向法院提起诉讼或采取其他法律措施来维护自己的权益。
咨询专业律师：在处理涉及非婚生子女继承权的问题时，咨询专业律师是非常必要的。律师可以提供专业的法律意见和帮助，确保非婚生子女的权益得到充分保护。
可能的法律后果
如果非婚生子女的继承权受到侵害，他们有权向法院提起诉讼要求确认继承权并分割遗产。如果法院认定非婚生子女确实享有继承权，那么他们将有权获得相应的遗产份额。同时，如果其他继承人故意侵害非婚生子女的继承权，还可能承担法律责任，如赔偿损失等。
综上所述，私生子自出生时起就享有继承权，这是由法律明确规定的。在实际生活中，非婚生子女应保留好相关证据，及时主张自己的权利，并在必要时咨询专业律师以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。