结论：非婚父亲因赌博被判刑会留下案底，且这一案底确实可能对孩子产生一定影响，主要体现在政审环节。

详细分析：

1. 案底的形成：

   • 当一个人因犯罪被法院判处刑罚（包括有期徒刑、拘役、管制等）后，其犯罪记录会被记录在案，形成所谓的“案底”或“前科”。
   • 在本案例中，非婚父亲因赌博被判刑，因此会留下案底。

2. 案底对孩子的影响：

   • 政审环节：案底主要影响的是政审环节，如孩子未来希望进入公务员系统、参军、报考军校或警校等需要政审的职业或学校时，父母的犯罪记录可能会成为考察的内容之一。
   • 具体影响程度：政审的具体标准因地区和单位而异，但一般来说，父母的犯罪记录，尤其是涉及道德败坏或严重违法犯罪的，可能会对孩子的政审结果产生不利影响。
   • 非绝对影响：需要注意的是，案底并不绝对决定孩子的未来。政审只是考察的一个方面，孩子还可以通过其他方面的优秀表现来弥补这一不足。

3. 特殊情况考虑：

   • 非婚生子女与婚生子女的平等性：根据法律规定，非婚生子女与婚生子女享有同等的权利。因此，在政审等环节，非婚生子女不应因父母的婚姻状况而受到歧视。
   • 赌博犯罪的性质：赌博犯罪虽然属于违法犯罪行为，但相较于暴力犯罪、毒品犯罪等严重犯罪，其社会危害性相对较小。因此，在政审时，可能会根据具体情况给予一定的考量。

4. 法律建议：

   • 了解政审标准：如果孩子未来有进入需要政审的职业或学校的打算，建议提前了解相关政审标准，以便做好准备。
   • 积极表现：鼓励孩子在其他方面积极表现，如学习成绩、社会实践、品德修养等，以弥补父母犯罪记录可能带来的不利影响。
   • 法律咨询：如有需要，可以寻求专业律师的法律咨询，了解具体情况下如何最大程度地保护孩子的权益。

总结与启示：非婚父亲因赌博被判刑会留下案底，且这一案底可能对孩子未来的政审环节产生一定影响。然而，案底并不绝对决定孩子的未来，孩子仍可以通过其他方面的优秀表现来弥补这一不足。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。