当遇到租房时房东不退押金且没有签订书面合同的情况，租客可以从以下几个方面来有效处理这一问题：
一、收集证据以证明租赁关系和押金事实
证明租赁关系的证据：
- 聊天记录：保存与房东的微信、短信等聊天记录，特别是那些包含租房事宜讨论的内容，如入住时间、租金金额、房屋设施等，这些都可以作为租赁关系存在的间接证据。
- 支付记录：通过银行转账、支付宝、微信等方式向房东支付租金和押金的转账凭证，这些记录能清晰显示付款时间、金额及收款方信息，是强有力的证据。
- 证人证言：如果有邻居、小区物业工作人员或其他了解租房情况的人，他们的证言也可以作为辅助证据。
证明押金事实的证据：
- 收据或收条：如果房东开具了收取押金的收据或收条，这是最直接有力的证据，应妥善保管。
- 录音录像：在与房东沟通退还押金的过程中，可以进行合法合规的录音或录像，确保内容清晰、完整，能够准确反映双方的交流内容和关键信息。
二、与房东协商解决
- 友好沟通：尝试与房东进行友好、诚恳的沟通，了解其不退押金的具体原因，也许存在一些误会或问题可以通过协商解决。
- 提出合理方案：根据实际情况，提出一些合理的解决方案，如承担部分清洁费用以换取房东退还剩余押金等。
三、向相关部门投诉或寻求调解
- 向当地居委会或街道办事处求助：他们通常设有调解部门，可以帮助租客与房东进行沟通协商，促使双方达成和解。
- 向住房保障和房产管理部门投诉：这些部门负责监管房屋租赁市场，对于房东的不当行为有权进行处理。租客可以向他们详细说明情况，提供相关证据，请求他们对房东进行调查和处理。
四、通过法律途径解决
- 申请仲裁（如有约定）：如果在其他相关协议或约定中有明确的仲裁条款，租客可以根据该条款向约定的仲裁机构申请仲裁。
- 提起诉讼：如果没有仲裁约定，租客可以向法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，需要提交充分的证据证明租赁关系和押金事实，以及房东不退押金的行为构成违约。如果法院判决租客胜诉，而房东仍然不履行退款义务，租客可以申请强制执行。
特别提醒：虽然公租房的情况与普通租房有所不同，但处理押金退还问题的基本原则相似。如果涉及的是公租房，且运营管理方（非私人房东）不退还押金，租户同样可以通过协商、第三方调解、法律途径等方式维护自身权益，并确保在整个过程中保留充分证据以支持主张。
综上所述，面对房东不退押金且没有合同的情况，租客应首先收集证据，然后尝试与房东协商解决。如果协商无果，可以向相关部门投诉或寻求调解，最后考虑通过法律途径解决。在整个过程中，保留完整且准确的证据链至关重要。