核心结论：当患者不会写自己名字时，家属签授权书可以采取以下方式，但需注意不同情况下的法律要求和程序。

1. 患者具备完全民事行为能力但因客观原因无法书写

   • 如果患者虽然不会写自己名字，但具备完全民事行为能力（如成年人且精神正常），只是由于文化程度低、身体残疾（如手部残疾）等客观原因无法书写，此时可以由患者以按手印的方式确认授权。家属在代为签署授权书时，应当注明“患者XXX（姓名）因[具体原因，如不识字/手部残疾]无法书写，由家属XXX代为签署，患者按手印确认”，并确保患者确实在场且同意授权内容。同时，最好有见证人在场见证，见证人可以是与本次医疗活动无利害关系的医护人员或其他人员，见证人需在授权书上签字确认。

2. 患者不具备完全民事行为能力

   • 若患者是无民事行为能力人（如不满8周岁的未成年人）或限制民事行为能力人（如不能完全辨认自己行为的成年人），此时需要由其法定代理人代为签署授权书。法定代理人一般是患者的监护人，如父母、配偶、成年子女等。在签署时，法定代理人需注明自己与患者的关系，例如“患者XXX的法定代理人（配偶）XXX代为签署”。同样，如果可能的话，最好有见证人在场见证整个签署过程。

3. 特殊情况下的处理

   • 在紧急情况下，如果患者无法表达自己的意愿且无法及时联系到家属，医疗机构为了抢救患者的生命，可以按照相关规定先行采取必要的医疗措施。但在事后，应当及时补办相关的授权手续，由家属追认或按照法定程序处理。
   • 如果患者没有家属或者家属无法联系到，医疗机构可以按照相关法律法规的规定，由医疗机构负责人或者被授权负责的人员签字后实施相应的医疗措施。

注意事项：

• 无论哪种情况，签署授权书都应当遵循自愿、合法、真实的原则，确保患者的合法权益得到保障。
• 授权书的内容应当明确、具体，包括授权的范围、期限等关键信息，避免产生歧义。
• 如果对签署授权书的程序或内容有疑问，建议及时咨询医疗机构的工作人员或寻求法律帮助，以确保授权书的合法性和有效性。

希望以上解答能对您有所帮助，如果您还有其他法律问题，欢迎直接向我咨询。