结论：被打人鉴定为二级伤，对方的行为很可能构成刑事案件，具体需结合行为人的主观意图及其他相关因素综合判断。以下从不同角度详细分析：
一、伤害程度与刑事责任
轻伤二级的认定：
- 根据《人体损伤程度鉴定标准》，轻伤二级是指各种致伤因素所致的原发性损伤或者由原发性损伤引起的并发症，未危及生命；遗留组织器官结构、功能轻度损害或者影响容貌的损伤。例如，面部单个创口长度达4.5厘米以上，或者多个创口累计长度达6厘米以上等，均可能构成轻伤二级。
- 既然被打人已被鉴定为二级伤，即属于轻伤范畴，这满足了故意伤害罪中“轻伤”的构成要件。
刑事责任：
- 根据《中华人民共和国刑法（2023修正）》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。因此，若对方的行为被认定为故意伤害，且造成了轻伤二级的后果，那么对方将面临刑事责任的追究。
二、主观意图与刑事责任
故意伤害：
- 在判断对方是否构成刑事责任时，必须考虑其主观意图。若对方明知自己的行为会造成他人伤害，而希望或放任这种结果发生，即构成故意伤害罪。
- 例如，若对方因琐事与被打人发生争执，进而故意殴打对方，导致轻伤二级的后果，那么对方的行为就构成了故意伤害罪。
过失伤害：
- 若对方因疏忽大意或过于自信而导致他人受伤，其刑事责任相对较轻。但在此案例中，由于已造成轻伤二级的后果，即使对方是过失行为，也可能面临一定的刑事责任，不过具体量刑会相对较轻。
三、其他考量因素
行为性质：
- 需判断对方的行为是否属于正当防卫、紧急避险等法律允许的情境。若属于，则可能不构成犯罪。但在此案例中，由于已明确是被打人受伤，且鉴定为二级伤，因此对方的行为不太可能属于正当防卫或紧急避险。
使用的工具：
- 若对方持有凶器进行攻击，这将被视为性质更为恶劣的行为，可能加重其刑事责任。但在此案例中，并未提及对方是否使用凶器，因此这一点需根据具体案情进一步判断。
社会影响：
- 对方的行为是否严重扰乱社会秩序，如是否在公共场所肆意闹事等，也是判断其行为是否构成刑事案件的重要考量因素。但在此案例中，主要关注的是伤害程度和主观意图，社会影响虽可能作为量刑时的参考因素，但并非决定性因素。
四、法律建议
- 及时报警：被打人应尽快向公安机关报案，并提供相关证据，如伤情鉴定报告、现场监控录像等，以便公安机关及时立案侦查。
- 保留证据：被打人应妥善保留与案件相关的所有证据，包括医疗记录、证人证言等，以便在后续的法律程序中证明自己的主张。
- 咨询律师：由于刑事案件涉及复杂的法律程序和专业知识，被打人可以咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果和应对策略。
总结：被打人鉴定为二级伤，对方的行为很可能构成刑事案件。具体是否构成犯罪以及应承担何种刑事责任，需结合行为人的主观意图、伤害程度以及其他相关因素综合判断。被打人应及时报警并保留相关证据，以便在后续的法律程序中维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。