结论：物业费败诉后，物业是否有权利公示业主，需分情况讨论，一般情况下物业无权随意公示业主信息，但在特定合法合规的情形下，可能存在有限度的公示行为。

1. 物业无权随意公示业主信息

• 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》以及《个人信息保护法》的相关规定，业主的个人信息（包括姓名、房号等）属于个人隐私范畴，受到法律严格保护。物业作为服务提供者，无权擅自公开或泄露业主的个人信息，否则可能构成侵权，需承担相应的法律责任。
• 法律后果：若物业未经业主同意，擅自公示业主信息，业主有权要求物业停止侵害、消除影响、赔礼道歉，并可能要求赔偿因此造成的损失。

2. 特定情形下的有限度公示

• 合法合规的公示：在某些特定情况下，如为了履行法律义务（如法院判决、政府要求等）或为了维护公共利益（如公告物业费缴纳情况，但需注意保护业主隐私，避免泄露过多个人信息），物业可能需要在一定范围内进行公示。但这种公示必须严格遵守法律法规的规定，确保公示内容的合法性和必要性，并尽可能减少对业主隐私的侵犯。
• 公示内容与方式：即使是在合法合规的情形下进行公示，物业也应谨慎选择公示的内容和方式。例如，可以公示欠费业主的房号（但不公示姓名等具体个人信息），或者通过内部通知、公告栏等方式进行公示，而不是在公共场所或网络上广泛传播。

3. 业主的应对措施

• 与物业沟通：如果业主发现物业存在未经同意擅自公示其信息的情况，首先可以尝试与物业进行沟通，要求物业停止侵害并消除影响。
• 寻求法律帮助：如果沟通无果，业主可以寻求法律帮助，向相关部门投诉或提起诉讼，维护自己的合法权益。

4. 建议与提醒

• 增强法律意识：业主应增强法律意识，了解自己的权利和义务，避免在物业费等问题上与物业产生不必要的纠纷。
• 保留证据：在与物业沟通或处理相关纠纷时，业主应注意保留相关证据（如沟通记录、公示照片等），以便在需要时维护自己的权益。

总结：物业费败诉后，物业一般无权随意公示业主信息。但在特定合法合规的情形下，可能存在有限度的公示行为。业主应增强法律意识，了解自己的权利和义务，并在必要时寻求法律帮助以维护自己的合法权益。如果您在房产纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。