结论：猫因疾病死亡是否可以同时向买家和医院索赔，需根据具体情况判断，主要看买家和医院是否存在过错以及过错与猫死亡之间的因果关系。以下从不同角度进行分析：
一、向买家索赔的情况
买家存在过错：
- 如果买家在购买猫的过程中存在欺诈行为，比如故意隐瞒猫的疾病史，导致你基于错误的认识购买了病猫，最终猫因疾病死亡，那么买家构成欺诈，你有权要求买家承担赔偿责任。
- 赔偿范围通常包括你购买猫的费用、因治疗猫产生的合理费用以及猫死亡给你造成的其他直接损失。
买家无过错：
- 如果买家在购买过程中没有过错，比如买家也不知道猫有疾病，且已经尽到了合理的注意义务，那么买家通常不承担赔偿责任。
二、向医院索赔的情况
医院存在过错：
- 如果你将猫带到医院治疗，医院在诊疗过程中存在过错，比如误诊、漏诊、治疗不当等，导致猫的病情加重或死亡，那么医院构成医疗过错，你有权要求医院承担赔偿责任。
- 赔偿范围包括因医院过错导致的额外治疗费用、猫死亡的价值损失（如果猫有特殊价值，如品种猫、具有特殊纪念意义的猫等）以及你因猫死亡遭受的精神损害抚慰金（在符合法律规定的情况下）。
- 法律依据：根据《民法典》第一千二百一十八条，患者在诊疗活动中受到损害，医疗机构或者其医务人员有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。虽然这里规定的是“患者”，但动物在医疗纠纷中可参照此规定处理，因为动物也是具有生命的个体，其主人因动物受损同样享有索赔权。
医院无过错：
- 如果医院在诊疗过程中没有过错，比如已经尽到了合理的诊疗义务，猫的死亡是由于疾病本身的发展或不可抗力的因素导致的，那么医院通常不承担赔偿责任。
三、同时向买家和医院索赔的情况
- 如果买家和医院都存在过错，且他们的过错共同导致了猫的死亡，那么你可以同时向买家和医院索赔。在这种情况下，买家和医院可能需要根据各自的过错程度承担相应的赔偿责任，即按份责任。
- 法律依据：根据《民法典》第一千一百七十二条，二人以上分别实施侵权行为造成同一损害，能够确定责任大小的，各自承担相应的责任；难以确定责任大小的，平均承担责任。
建议：
- 在处理此类纠纷时，建议你首先收集相关证据，如购买合同、医院的诊疗记录、猫的死亡证明等，以证明买家和医院是否存在过错以及过错与猫死亡之间的因果关系。
- 如果无法与买家或医院协商解决纠纷，你可以考虑通过法律途径维护自己的权益，比如向法院提起诉讼或向相关的消费者保护机构投诉。
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