行政诉讼案原告补充证据申请书的核心撰写要点如下，我将分步骤为您详细说明格式与内容要求：

1. 标题与基本信息
   标题统一为「补充证据申请书」，首行居中书写。次行顶格写明受理法院全称（如：XX市XX区人民法院），另起一行写明案号（如：（202X）X行初XX号）。再另起一行写明申请人信息（原告姓名/名称、性别、出生日期、身份证号/统一社会信用代码、住址/注册地、联系方式），最后写明申请日期。

2. 申请事项
   需明确表述为「请求准许申请人补充提交以下证据」，并分项列明证据名称（如：1. 2023年X月X日拍摄的现场照片X张；2. XX部门出具的《情况说明》原件等）。若证据较多，可附《证据清单》作为附件。

3. 事实与理由
   这是申请书的核心部分，需包含三层逻辑：

   • 证据关联性：说明补充证据与案件争议焦点（如行政行为合法性、程序正当性等）的直接关联性。例如：「该照片可直观证明被告实施行政强制措施时未出示执法证件，与原告主张的程序违法事实直接相关」。
     
   • 未及时提交的客观原因：需具体说明未在举证期限内提交的合理理由（如证据由第三方保管需调取、新发现的证据等），避免使用「疏忽」「遗忘」等主观表述。例如：「因XX公司（第三方）拒绝配合，申请人于2023年X月X日才通过诉讼方式取得该《情况说明》」。
     
   • 证据的证明力：强调补充证据对案件事实认定的关键作用。例如：「该证据可推翻被告关于『已履行告知义务』的陈述，直接影响行政行为合法性的认定」。

4. 结尾与附件
   结尾需写明「此致」并换行顶格写明法院名称，申请人签名/盖章并注明日期。附件部分需列明补充证据的名称、份数、页数（如：附件1. 现场照片3张；附件2. 《情况说明》原件1份2页）。

注意事项：

• 证据需与案件具有直接关联性，避免提交无关材料；
  
• 理由部分需突出「客观原因」，避免被认定为「故意逾期举证」；
  
• 申请书需一式两份，一份提交法院，一份自行留存备查。
  

示例片段（事实与理由部分）：
「申请人原定于举证期限内提交的XX证据，因XX公司（第三方）以内部审批为由拒绝出具，经申请人多次沟通并委托律师发函后，才于2023年X月X日取得该证据（见附件2）。该证据可证明被告在作出行政处罚时未依法听取申请人陈述申辩，直接违反《行政处罚法》第XX条程序规定，对案件事实认定具有关键作用。」

如需进一步优化申请书内容或针对具体案件调整表述，可随时向我说明案件细节，我将协助完善。