结论：公司开除员工时，应当开具的是离职证明，而非辞退证明。不过，在特定情况下，公司也可以考虑额外提供辞退证明以解释解雇原因。

详细分析：

1. 离职证明的法定义务：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位在解除或终止劳动合同时，必须出具解除或终止劳动合同的证明，即离职证明。这一义务是法定的，不因员工离职的原因（如被开除）而有所免除。
   • 离职证明是劳动者办理社保转移、领取失业金、求职等手续的重要依据，对劳动者来说至关重要。

2. 离职证明的内容要求：

   • 离职证明应包含劳动者的基本信息，如姓名、身份证号码、入职日期、离职日期以及工作岗位等。
   • 关于离职原因，可以简单描述为“公司开除”或“双方协商一致解除”等，但应确保内容真实、客观。
   • 离职证明需加盖公司公章，以确保其法律效力。

3. 辞退证明的使用场景：

   • 辞退证明通常是在用人单位主动解除劳动合同的情况下，为了说明解除原因而开具的。它更侧重于解释公司为何主动解除与劳动者的劳动关系，并可能涉及经济补偿金的问题。
   • 在劳动争议仲裁或诉讼中，辞退证明可以作为关键证据来支持用人单位的解雇决定。同时，一些特殊行业或岗位的新用人单位可能会要求员工提供辞退证明以了解其离职的具体原因。

4. 离职证明与辞退证明的区别与联系：

   • 区别：离职证明是一个更为中性的表述，主要用于证明劳动者与用人单位之间已经解除了劳动关系；而辞退证明则明确说明了是公司主动解除与劳动者的劳动关系，并可能详细阐述解雇原因。
   • 联系：在实际操作中，离职证明可以包含辞退的相关信息（如离职原因为“公司开除”），从而在一定程度上满足辞退证明的需求。然而，从法律义务和全面保护的角度出发，用人单位仍应单独出具符合法律规定的离职证明。

5. 公司的责任与风险：

   • 如果公司拒绝出具离职证明或出具的证明不符合规定，员工有权向劳动行政部门投诉。劳动行政部门将责令公司改正，并可能对公司进行处罚。
   • 公司不出具离职证明还可能给员工造成实际损失（如无法顺利入职新单位而产生的经济损失），在这种情况下，公司需承担相应的赔偿责任。

建议：

• 作为公司，在开除员工时，应依法出具离职证明，并确保其内容完整、真实有效。这不仅是履行法定义务的表现，也是维护公司形象和避免法律风险的重要措施。
• 如果公司认为有必要解释解雇原因或涉及经济补偿金等问题，可以考虑额外提供辞退证明。但应确保辞退证明的内容真实、客观，并符合相关法律法规的规定。
• 作为员工，如果被公司开除且未收到离职证明或收到的证明不符合规定，有权向劳动行政部门投诉或寻求法律援助以维护自己的合法权益。

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