结论：申请病假期间，公司一般不能随意开除员工，但存在特定情形下可以解除劳动合同，并需依据法律规定支付相应的经济补偿。以下是对这一问题的详细分析：
一、劳动者的病假权利与医疗期保障
根据《劳动合同法》等相关法律法规，劳动者享有休息休假的权利，患病或者非因工负伤时，在规定的医疗期间内，用人单位不得解除劳动合同。医疗期的长短与劳动者的实际工作年限和在本单位的工作年限有关，具体范围从3个月到24个月不等。例如，实际工作年限十年以下且在本单位工作年限五年以下的，医疗期为三个月；实际工作年限十年以上且在本单位工作年限五年以下的，医疗期为六个月等。在此期间，只要劳动者按照用人单位规定的流程提交合法有效的病假证明（如医院诊断书、病历、病假条等），用人单位就不得以员工请病假为由将其开除。
二、病假手续的合规性
劳动者在请病假时，必须遵守用人单位的规章制度，按照规定的流程及时提交病假申请和相关的医疗证明。如果劳动者未按照规定流程操作，或者提供的医疗证明不真实、不充分，用人单位有权依据规章制度对员工进行处理，包括但不限于警告、罚款乃至解除劳动合同。特别地，如果劳动者伪造病假条等，这属于严重违反用人单位规章制度的行为，用人单位可以依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
三、特殊情况下劳动合同的解除
尽管劳动者在医疗期内享有病假权利，但在某些特殊情况下，用人单位仍可能依法解除劳动合同。例如：
医疗期满不能胜任工作：根据《劳动合同法》第四十条，若劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位可提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同。此时，用人单位需要支付相应的经济补偿给劳动者。
严重违反规章制度：如果劳动者在病假期间严重违反用人单位的规章制度，如同时与其他用人单位建立劳动关系并对完成本单位工作任务造成严重影响等，且符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形，用人单位有权解除劳动合同，并且无需支付经济补偿。
四、公司规章制度与劳动合同的重要性
除了法律法规的规定外，公司的规章制度和劳动合同中的相关条款也是判断员工是否会被开除的重要依据。有些公司可能会在劳动合同中明确规定，员工在一定时间内累计请病假超过一定天数，公司有权解除劳动合同。因此，劳动者在入职时应仔细阅读劳动合同和公司规章制度，了解自己的权利和义务。同时，用人单位在制定规章制度时也应确保其内容合法、合理，并符合相关法律法规的规定。
五、违法解除的后果
若用人单位在医疗期内或违反规定解除劳动合同，员工有权要求继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，用人单位需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
建议：劳动者在请病假时，应遵守公司的规定和法律法规的要求，提供真实的医疗证明；而用人单位也应尊重员工的病假权利，不得无故开除请病假的员工。如果双方在这方面存在争议，建议通过协商或法律途径来解决。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。