核心结论：另一方私自打开保险柜的行为是否合法及后续处理方式，需根据保险柜的权属、双方约定、死亡一方的继承情况等因素综合判断，以下分情况说明：

1. 若保险柜为双方共有且无特殊约定
   根据《民法典》第297条，不动产或动产可以由两个以上组织、个人共有。若保险柜为双方共同出资购买或共同使用，且未明确约定一方死亡后另一方的处理权限，则：

   • 私自打开可能涉嫌侵权：若死亡一方留有遗嘱或法定继承人，其继承人对保险柜内物品享有继承权。另一方未经继承人同意擅自打开，可能侵犯继承人的财产权，需承担返还财产、赔偿损失等民事责任。
     
   • 例外情形：若保险柜内物品明确属于另一方所有（如个人证件、私人物品），且能提供证据证明，则打开行为合法。

2. 若保险柜为死亡一方所有，另一方仅获授权使用

   • 授权终止：根据《民法典》第161条，民事主体可以通过代理人实施民事法律行为。若死亡一方生前仅授权另一方使用保险柜（如保管钥匙但未明确处分权），则授权随其死亡自动终止。
     
   • 法律后果：另一方擅自打开可能构成无权处分，需向继承人返还物品；若物品被转移或损毁，可能需承担赔偿责任。

3. 若保险柜内涉及遗产分配争议

   • 继承人权利：根据《民法典》第1127条，法定继承人（配偶、子女、父母为第一顺序）有权继承遗产。若保险柜内物品属于遗产，另一方无权单独处置，需由全体继承人协商或通过法院分割。
     
   • 建议流程：
     
     1. 立即停止打开行为，封存保险柜；
        
     2. 通知死亡一方的继承人（如配偶、子女、父母）；
        
     3. 共同清点物品并制作清单，必要时公证；
        
     4. 通过协商或诉讼明确遗产归属。

4. 若另一方行为涉嫌刑事犯罪

   • 盗窃罪风险：若另一方以非法占有为目的，秘密窃取保险柜内价值较高的物品（如现金、珠宝），可能触犯《刑法》第264条盗窃罪，需承担刑事责任。
     
   • 侵占罪风险：若另一方将代为保管的物品非法占为己有，数额较大且拒不归还，可能构成《刑法》第270条侵占罪。

行动建议：

• 立即联系死亡一方的亲属，说明情况并协商处理；
  
• 保留保险柜钥匙、使用协议等证据，证明自身权限；
  
• 若争议无法解决，可向法院申请“财产保全”或“遗产管理人”程序，由法院指定第三方管理保险柜；
  
• 避免擅自处置物品，防止法律风险升级。
  

如有进一步细节（如保险柜权属证明、死亡原因、物品清单等），可向我补充说明，我会为您分析具体风险点。