结论：投诉医疗机构违法行为是否因超过追诉期而不予立案，需结合违法行为类型、追诉期规定及具体情节综合判断，并非绝对不予立案。以下分情况详细说明：

1. 行政违法行为的追诉期：一般2年，特殊情形可延长

根据《行政处罚法》第三十六条，行政违法行为的追诉期为2年，自违法行为发生之日起计算；违法行为有连续或继续状态的，自行为终了之日起计算。

• 若超过2年：行政机关原则上不得再给予行政处罚（如罚款、吊销执照等），但若违法行为涉及公共安全、人身健康等重大利益，或存在隐瞒、伪造证据等情形，可能被认定为“特殊情况”而延长追诉期。
  
• 若未超过2年：行政机关应依法立案调查，并根据调查结果作出处罚决定。

关键点：投诉时需明确违法行为的具体时间、持续状态及证据，若超过2年且无特殊情形，行政机关可能以“超过追诉期”为由不予立案。

2. 刑事犯罪的追诉期：根据罪名和刑期确定，最长无期限

若医疗机构违法行为涉嫌刑事犯罪（如医疗事故罪、非法行医罪、诈骗罪等），追诉期按《刑法》第八十七条、第八十八条、第八十九条计算：

• 法定最高刑不满5年有期徒刑的：追诉期为5年；
  
• 法定最高刑5年以上不满10年有期徒刑的：追诉期为10年；
  
• 法定最高刑10年以上有期徒刑的：追诉期为15年；
  
• 法定最高刑为无期徒刑、死刑的：追诉期为20年，若认为必须追诉的，需报请最高人民检察院核准。
  

特殊情形：

• 在追诉期内又犯罪的，前罪追诉期从后罪之日起重新计算；
  
• 在人民检察院、公安机关、国家安全机关立案侦查或法院受理案件后，逃避侦查或审判的，不受追诉期限制；
  
• 被害人在追诉期内提出控告，公安机关应立案而未立案的，不受追诉期限制。

关键点：若投诉涉及刑事犯罪，需先明确罪名及对应刑期，再判断是否超过追诉期。若未超过且无特殊排除情形，公安机关应立案侦查。

3. 民事赔偿的诉讼时效：3年，自知道权利受损之日起算

若投诉目的是要求医疗机构承担民事赔偿责任（如医疗损害赔偿），需适用《民法典》第一百八十八条规定的3年诉讼时效，自权利人知道或应当知道权利受损及义务人之日起计算。

• 若超过3年：对方可能提出“诉讼时效抗辩”，法院将驳回诉讼请求，但若存在诉讼时效中断（如协商、发函催告等）或中止（如不可抗力）情形，时效可重新计算。
  
• 若未超过3年：法院应依法受理并审理。

关键点：民事赔偿与行政处罚、刑事追诉的期限不同，需单独计算。即使行政或刑事程序因追诉期终止，仍可单独提起民事诉讼。

4. 综合建议：分步骤处理投诉

1. 明确违法行为性质：区分是行政违法、刑事犯罪还是民事侵权，对应不同追诉期或时效规定。
   
2. 收集证据：包括病历、缴费记录、沟通记录、证人证言等，证明违法行为发生时间、持续状态及损害后果。
   
3. 咨询专业律师：根据证据和具体情节，律师可协助判断是否超过追诉期或时效，并制定投诉或诉讼策略。
   
4. 及时行动：若未超过期限，尽快向卫生健康行政部门、公安机关或法院提交投诉材料；若已超过，可尝试通过协商、调解等非诉方式解决。

总结：投诉医疗机构违法行为是否因超过追诉期而不予立案，需结合行为类型（行政/刑事/民事）、期限规定及具体情节综合判断。若有疑问，可直接向我咨询，我会根据您提供的细节进一步分析。