结论：欠债不还被起诉后，该债务不会一直存在，其存续状态取决于多种因素，包括是否履行还款义务、是否超过诉讼时效以及债务是否被合法抵销等。以下是对这些因素的详细分析：
履行还款义务：
- 如果债务人在被起诉后履行了还款义务，即偿还了全部或部分债务，那么该债务将相应减少或消灭。在这种情况下，债务自然不再存在。
诉讼时效：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间通常为三年。这意味着，如果债权人在诉讼时效期间内未行使权利（即未提起诉讼或申请仲裁），则可能丧失胜诉权。但需要注意的是，诉讼时效的届满并不导致债务本身的消灭，只是债权人可能无法通过法律途径强制债务人履行还款义务。
- 如果债权人在诉讼时效期间内提起了诉讼，并且法院作出了生效判决，那么债务人应当履行判决确定的还款义务。如果债务人未履行，债权人可以申请强制执行。在这种情况下，债务将持续存在，直到债务人履行完毕或法院裁定终结执行。
债务抵销：
- 如果债务人和债权人之间存在相互的债权债务关系，并且符合法律规定的抵销条件（如双方债务均已到期、债务种类相同等），那么债务人可以通过抵销的方式消灭部分或全部债务。在这种情况下，被抵销的债务将不再存在。
其他情况：
- 除了上述情况外，还有一些其他因素可能导致债务的消灭或变更，如债务的免除、混同（即债权人和债务人合为一人）等。这些情况在民间借贷中相对较少见，但也可能发生。
法律建议：
- 对于债务人而言，如果面临欠债不还被起诉的情况，应当积极应对诉讼，了解自己的权利和义务，并考虑与债权人协商还款计划或寻求其他解决方案。
- 对于债权人而言，如果债务人未履行还款义务，应当及时提起诉讼或申请仲裁，并在诉讼时效期间内行使权利。同时，也可以考虑与债务人协商还款计划或采取其他合法手段追讨债务。
可能后果：
- 如果债务人未履行生效判决确定的还款义务，债权人可以申请强制执行，法院可以采取查封、扣押、冻结等措施强制执行债务人的财产。
- 如果债务人拒不履行还款义务且情节严重，可能构成拒不执行判决、裁定罪，面临刑事处罚。
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