工厂未签劳动合同且违法辞退员工时，员工可主张的赔偿包括两部分：未签合同的双倍工资差额+违法解除的赔偿金。具体分析如下：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额

根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍工资（扣除已支付的1倍工资后，实际可主张差额）。

• 计算方式：从用工满1个月的次日起算，至补签合同或劳动关系终止之日止，最长不超过11个月。
  
• 举证责任：员工需证明劳动关系存在（如工资条、考勤记录、工牌、同事证言等）。
  
• 例外情形：若因员工原因拒绝签合同，或工厂已尽诚信协商义务（如留存催签记录），可能无需支付差额。

2. 违法解除劳动关系的赔偿金

若工厂无正当理由辞退员工（如未提前30天通知、无合法解除事由等），属于违法解除，需支付赔偿金（即经济补偿金的2倍）。

• 经济补偿金标准：按劳动者在本单位工作年限，每满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年的按1年计算；不满6个月的支付半个月工资。
  
• 赔偿金计算：经济补偿金×2。例如，工作2年被违法辞退，赔偿金为4个月工资。
  
• 关键点：工厂需承担举证责任，证明解除合法（如员工严重违纪、不能胜任工作等）。若无法证明，则构成违法解除。

3. 其他可能主张的权益

• 未休年假工资：若工作满1年未休年假，可主张300%日工资的未休年假补偿。
  
• 加班费：若存在加班事实，可主张加班工资（平时1.5倍、周末2倍、法定假日3倍）。
  
• 社保补缴：可要求工厂补缴劳动关系存续期间的社会保险。

4. 维权步骤建议

1. 收集证据：劳动关系证明、工资记录、辞退通知等。
   
2. 协商解决：与工厂沟通，要求支付赔偿。
   
3. 申请仲裁：若协商无果，向当地劳动仲裁委提起仲裁（时效1年）。
   
4. 提起诉讼：对仲裁结果不服的，可向法院起诉。

提示：若工厂以“未签合同”为由主张无需赔偿，需注意：未签合同本身是工厂违法，不影响员工主张其他权益。建议尽快行动，避免超过仲裁时效。如有具体细节需进一步分析，可直接向我咨询。