结论：十年前开的发票被认定虚开，是否需要补税以及是否会被判刑，这取决于多个因素，包括虚开发票的具体情节、是否已过追诉时效、以及是否存在其他从轻或减轻处罚的情节等。以下是对此问题的详细分析：
一、关于补税
税务责任：
- 如果发票被认定为虚开，那么基于该发票的交易可能被视为无效，税务机关有权要求纳税人补缴相应的税款及滞纳金。
- 补税的责任不因时间的流逝而消除，即使发票是十年前开具的，一旦被发现虚开，税务机关仍有权追缴税款。
补税的计算：
- 补税的具体金额将根据虚开发票涉及的交易金额、税率以及可能产生的滞纳金等因素来确定。
- 计算公式可能涉及：应补税额 = 虚开发票金额 × 适用税率 + 滞纳金（滞纳金通常按日计算，具体比例根据税法规定）。
二、关于判刑
刑事责任：
- 虚开发票可能构成犯罪，如虚开增值税专用发票罪等，具体取决于发票的类型和虚开的情节。
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，虚开发票情节严重的，可能面临有期徒刑、拘役或罚金等刑事处罚。
追诉时效：
- 刑事犯罪的追诉时效是有限的，根据《中华人民共和国刑法》第八十七条的规定，法定最高刑为不满五年有期徒刑的，经过五年不再追诉；法定最高刑为五年以上不满十年有期徒刑的，经过十年不再追诉；以此类推。
- 如果虚开发票的行为已经超过了追诉时效，那么即使被发现，也不再追究刑事责任。但需要注意的是，对于连续或继续状态的犯罪，追诉时效从犯罪行为终了之日起计算。
从轻或减轻处罚的情节：
- 如果虚开发票的行为情节较轻，或者存在自首、立功、认罪认罚等从轻或减轻处罚的情节，那么可能不会被判刑或判刑较轻。
三、综合建议
主动配合调查：
- 如果收到税务机关或司法机关的调查通知，应主动配合调查，如实说明情况，提供相关证据。
咨询专业律师：
- 鉴于此类问题的复杂性，建议咨询专业律师（即向我咨询），以便更准确地评估法律风险，并制定合适的应对策略。
积极整改：
- 如果确实存在虚开发票的行为，应积极整改，补缴税款及滞纳金，并采取措施防止类似行为再次发生。
最后，十年前开的发票被认定虚开，是否需要补税以及是否会被判刑，取决于多个因素。如果面临此类问题，请直接向我咨询，以便获得更具体、更专业的法律建议。