虚开发票被判刑10年后，相关税款仍需补交，且由税务机关负责追缴。以下是对此问题的详细分析：
一、刑事处罚与补税义务的关系
刑事处罚：虚开发票行为若构成犯罪，将依据《中华人民共和国刑法》的相关规定，如第二百零五条，处以有期徒刑、拘役或罚金等刑事处罚。这是对犯罪行为人的严厉惩罚，旨在维护社会秩序和公共利益。
补税义务：补税是基于纳税人依法如实纳税的法定义务。虚开发票导致国家税收流失，税务机关有权要求纳税人补缴相应税款、滞纳金及可能的罚款。补税的目的是恢复税收秩序，确保国家财政收入不受损失。
二、补税的具体要求
税种与补缴标准：虚开发票后，可能需要补缴的税种主要包括增值税等。纳税人未就其虚开金额申报并缴纳增值税的，应按虚开金额补缴。若已申报并缴纳，则不再按虚开金额补缴，但需处理其他相关税务问题。
滞纳金与罚款：除了补缴税款外，纳税人还可能需要缴纳因逾期未缴税而产生的滞纳金，以及税务机关对虚开发票行为处以的罚款。滞纳金的计算通常按照每日一定比例进行，罚款的金额则视情节轻重而定。
三、补税对量刑的影响
虽然主动补税不能替代刑事处罚，但可能在量刑时作为悔罪态度的一个考虑因素。法院在判决时会综合考虑纳税人的悔罪表现、是否主动补税等因素，可能对量刑结果产生一定影响。然而，虚开发票并抵扣的行为一旦发生即构罪，案发后积极补缴税额只能作为量刑时的有利情节，而非出罪条件。
四、特殊情况说明
根据相关司法解释，对于逃避缴纳税款行为，若在公安机关立案前经税务机关追缴后足额补缴税款、滞纳金，并履行行政处罚决定，可不予追究刑事责任（特定情况下除外）。但需注意，这一规定并不适用于虚开发票行为。虚开发票与逃税是不同的法律行为，虚开发票行为一旦被查实，无论是否补缴税款，都可能面临刑事处罚。
五、实际操作建议
主动配合税务机关：一旦收到税务机关的补缴通知或法院的判决要求，应尽快与税务机关联系并了解具体的补缴金额和程序。
按时履行补缴义务：确保在规定的时间内完成补缴工作，避免产生额外的滞纳金或面临更严重的法律后果。
保留相关证据：妥善保管好所有与补缴相关的凭证和文件，以备不时之需。
综上所述，虚开发票被判刑后，纳税人仍须履行补税义务。这是基于纳税人法定纳税义务的延续，也是恢复税收秩序、保障国家财政收入的必要措施。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。