结论：员工违反保密义务将客户带走，公司可以通过法律途径索赔，具体方式包括要求员工赔偿直接经济损失、追究其违约责任，以及在符合条件时主张惩罚性赔偿。以下从不同角度详细分析：
一、法律基础与索赔依据
保密义务与违约责任：
- 员工与公司之间通常存在保密协议或劳动合同中的保密条款，员工有义务保守公司的商业秘密，包括客户信息。
- 若员工违反保密义务，将客户带走，构成违约，公司有权要求其承担违约责任，包括赔偿因此造成的直接经济损失。
侵权责任：
- 员工的行为还可能构成对公司商业秘密的侵权，根据《反不正当竞争法》等相关法律法规，公司有权要求侵权员工停止侵害、赔偿损失。
竞业限制（如适用）：
- 若员工与公司之间签订了竞业限制协议，且员工在离职后违反协议约定，到与原公司有竞争关系的企业工作或自行开展竞争业务，并带走客户，公司除可要求赔偿损失外，还可要求员工继续履行竞业限制义务或支付违约金。
二、索赔的具体方式
直接经济损失赔偿：
- 公司应收集证据证明因员工带走客户而遭受的具体经济损失，如客户流失导致的销售额减少、利润损失等。
- 赔偿金额通常根据实际损失进行计算，公司可要求员工全额赔偿。
违约金支付：
- 若保密协议或竞业限制协议中约定了违约金条款，公司可要求员工按照约定支付违约金。
- 违约金的数额应合理，既不过高也不过低，以体现对员工违约行为的惩罚和对公司损失的补偿。
惩罚性赔偿（如符合条件）：
- 在某些情况下，如员工的行为构成恶意侵权或故意违反保密义务，公司可主张惩罚性赔偿，以加大对员工的惩罚力度。
- 惩罚性赔偿的数额通常高于实际损失，但需符合法律法规的规定和司法实践的标准。
三、索赔的流程与注意事项
收集证据：
- 公司应尽快收集员工违反保密义务的证据，包括保密协议、客户信息、员工带走客户的证据（如聊天记录、邮件、交易记录等）。
- 证据应真实、合法、有效，能够证明员工的行为和公司的损失。
协商与调解：
- 在提起诉讼前，公司可尝试与员工进行协商或调解，以达成和解协议并快速解决纠纷。
- 协商或调解过程中，公司应保持冷静、理性，明确表达诉求和底线。
提起诉讼：
- 若协商或调解无果，公司可向法院提起诉讼，要求员工承担违约责任或侵权责任。
- 诉讼过程中，公司应积极配合法院的调查和审理工作，提供充分的证据支持自己的诉求。
执行判决：
- 若法院判决员工承担赔偿责任或支付违约金，公司应及时申请强制执行，以确保判决得到有效执行。
四、特殊情况下的处理
- 员工已离职：即使员工已离职，若其违反保密义务或竞业限制协议的行为持续存在或对公司造成损失，公司仍有权追究其法律责任。
- 员工与第三方共同侵权：若员工与第三方（如新雇主）共同侵犯公司的商业秘密或客户信息，公司可同时起诉员工和第三方，要求其承担连带责任。
建议：公司在处理此类纠纷时，应咨询专业律师的意见，以确保索赔的合法性和有效性。同时，公司也应加强内部管理，完善保密制度和竞业限制协议，以预防类似纠纷的发生。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。