行政复议部门败诉后，其作出的行政行为原则上必须执行，但存在特定情形下可以暂缓执行或不予执行。以下从多个角度为您详细分析：
一、行政复议部门败诉的法律后果
当行政复议部门（即复议机关）在行政诉讼中败诉时，意味着法院认定复议机关维持或改变原行政行为的决定违法。根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，法院判决撤销或者部分撤销复议决定，并可以判决复议机关重新作出复议决定。这一判决结果直接针对的是复议机关的决定，而非原行政行为本身，但复议决定的撤销往往意味着原行政行为可能存在问题，需要重新审视。
二、必须执行的情况
原行政行为合法有效：
- 如果原行政行为本身合法有效，且复议机关的败诉仅是因为复议程序或复议决定本身的问题，而非原行政行为的问题，那么原行政行为应当继续执行。
- 例如，复议机关因未充分听取当事人意见而败诉，但原行政行为在实体和程序上均合法，此时原行政行为应继续执行。
法院未判决停止执行：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第五十六条，诉讼期间，不停止行政行为的执行。但有下列情形之一的，裁定停止执行：
- 被告认为需要停止执行的；
- 原告或者利害关系人申请停止执行，人民法院认为该行政行为的执行会造成难以弥补的损失，并且停止执行不损害国家利益、社会公共利益的；
- 人民法院认为该行政行为的执行会给国家利益、社会公共利益造成重大损害的；
- 法律、法规规定停止执行的。
- 若法院未作出停止执行的裁定，且不存在上述法定停止执行情形，行政行为应继续执行。
三、可以暂缓执行或不予执行的情况
法院判决停止执行：
- 如前所述，若法院认为行政行为的执行会造成难以弥补的损失，或者会给国家利益、社会公共利益造成重大损害，可以裁定停止执行。
复议机关或原行政机关自行停止执行：
- 复议机关或原行政机关在认识到行政行为可能存在问题，或者为了维护社会稳定、避免更大损失等考虑，可以自行决定停止执行。
当事人申请且法院同意暂缓执行：
- 当事人可以向法院申请暂缓执行，并提供相应担保。若法院认为暂缓执行不会损害国家利益、社会公共利益，且当事人提供了充分担保，可以同意暂缓执行。
四、实际操作中的建议
对于行政机关：
- 在收到法院败诉判决后，应立即审视原行政行为和复议决定的合法性，决定是否继续执行或采取其他措施。
- 若认为原行政行为存在问题，应及时撤销或变更，并告知当事人。
对于当事人：
- 若认为行政行为违法且对自己造成了损害，可以依法申请行政赔偿。
- 在行政诉讼期间，若担心行政行为的执行会对自己造成不可挽回的损失，可以向法院申请停止执行或暂缓执行。
总结来说，行政复议部门败诉后，其作出的行政行为是否必须执行，取决于原行政行为的合法性、法院是否判决停止执行以及是否存在其他法定停止执行的情形。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。