在私人借款被起诉且已偿还部分款项的情况下，剩余款项是可以尝试申请分期还款的，但能否成功取决于多个因素，具体分析如下：

1. 协商解决：

   • 与债权人沟通：首先，你可以主动与债权人（即起诉你的人）进行沟通，说明你目前的经济状况和还款意愿，提出分期还款的方案。如果债权人同意，双方可以签订书面协议，明确分期还款的金额、期限等条款。这种方式最为直接和高效，且能避免进一步的法律纠纷。
   • 协商的优势：通过协商解决，你可以根据自己的经济能力制定还款计划，减轻还款压力。同时，债权人也能确保最终能够收回全部借款，减少损失。

2. 法院调解：

   • 在诉讼过程中申请调解：如果与债权人协商无果，你可以在诉讼过程中向法院申请调解。法院会根据双方的实际情况和意愿，提出一个合理的还款方案。如果双方同意，法院会制作调解书，具有法律效力。
   • 调解的优势：法院调解具有权威性和强制性，一旦达成调解协议，双方必须履行。这有助于确保还款计划的执行，减少违约风险。

3. 执行阶段申请分期：

   • 如果已进入执行阶段：如果案件已经进入执行阶段，你仍然可以向法院申请分期还款。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，执行过程中，双方当事人可以自行和解达成协议。如果债权人同意，法院可以裁定中止执行，并按照和解协议的内容进行分期还款。
   • 申请的条件：在申请分期还款时，你需要提供充分的证据证明自己目前的经济状况确实困难，无法一次性偿还剩余款项。同时，你需要提出一个合理的还款计划，确保能够按时履行还款义务。

行动建议：

• 及时沟通：尽快与债权人取得联系，说明你的还款意愿和困难，提出分期还款的方案。
• 准备证据：收集并整理相关证据，如收入证明、财产状况证明等，以证明你目前的经济状况确实困难。
• 咨询专业意见：在申请分期还款前，最好咨询专业律师的意见，了解相关法律规定和程序，确保你的权益得到保障。