结论：免于刑事处罚的情况下，公安局是否开具无犯罪证明需视具体情况而定，但一般情况下，若确实未留下犯罪记录，公安机关应当开具无犯罪证明；若因特定原因拒绝开具，则可能存在不合理情形。以下是对此问题的详细分析：

一、免于刑事处罚与无犯罪记录的关系

1. 免于刑事处罚的定义：免于刑事处罚是指行为人虽然构成了犯罪，但根据法律规定，不需要对其判处刑罚。这通常是因为犯罪情节轻微、社会危害性不大，或者存在其他法定免除处罚的情形。

2. 无犯罪记录的定义：无犯罪记录是指公安机关在户籍档案中未记载有犯罪行为的信息。它是对一个人过去行为的一种客观记录，是判断一个人是否有犯罪前科的重要依据。

3. 免于刑事处罚与无犯罪记录的关系：免于刑事处罚并不意味着没有犯罪记录。实际上，一旦行为人被法院判定构成犯罪，即使免于刑事处罚，也会在公安机关留下犯罪记录。然而，也存在特殊情况，如因情节显著轻微危害不大而不认为是犯罪的，这种情况下可能不会留下犯罪记录。

二、公安局不开具无犯罪证明的可能原因及合理性分析

1. 存在犯罪记录：

   • 如果行为人确实因为某种犯罪行为被法院判定有罪，即使免于刑事处罚，也会在公安机关留下犯罪记录。在这种情况下，公安局不开具无犯罪证明是合理的。

2. 申请材料不齐全或不符合要求：

   • 申请无犯罪证明需要提供一系列的材料，如有效身份证件、申请表等。如果申请材料不齐全或不符合要求，公安局可能会拒绝开具证明。这种情况下，拒绝开具是合理的，但申请人可以补充材料后再次申请。

3. 申请事由不符合规定：

   • 无犯罪证明通常用于政审、特定职业入职等正当事由。如果申请人的申请事由不属于这些范围，公安局有权拒绝开具。然而，这一规定可能因地区而异，具体需参考当地的相关规定。

4. 公安局的误解或错误操作：

   • 在某些情况下，公安局可能因为对法律规定的误解或错误操作而拒绝开具无犯罪证明。例如，可能将免于刑事处罚的情况误认为是有犯罪记录而拒绝开具。这种情况下，拒绝开具是不合理的。

三、维权途径

如果申请人认为公安局拒绝开具无犯罪证明的行为不合理，可以通过以下途径维护自己的合法权益：

1. 向上级公安机关投诉：

   • 申请人可以向公安局的上级机关投诉，请求纠正错误或给出合理解释。上级机关会对投诉进行调查，并根据调查结果作出相应处理。

2. 寻求法律援助：

   • 申请人可以咨询专业律师（即我本人，侯佳律师，专注于刑事辩护、涉外纠纷领域），了解相关法律规定及维权策略。律师会根据申请人的具体情况，提供针对性的法律建议。

3. 提起行政复议或行政诉讼：

   • 如果申请人认为公安局的拒绝行为侵犯了其合法权益，可以依法提起行政复议或行政诉讼。通过法律手段维护自身权益，是解决此类纠纷的有效途径。

四、特殊情况下的处理

如果申请人确实因为情节显著轻微危害不大而不被认为是犯罪，从而未留下犯罪记录，但公安局仍然拒绝开具无犯罪证明，那么申请人可以：

1. 提供相关证据：

   • 申请人可以提供法院的相关判决书、裁定书等法律文书，证明自己并未构成犯罪。这些证据可以作为申请无犯罪证明的有力支持。

2. 要求公安局出具书面说明：

   • 申请人可以要求公安局出具书面说明，明确拒绝开具无犯罪证明的理由。如果理由不充分或存在错误，申请人可以据此进行维权。

总结与建议：免于刑事处罚的情况下，公安局是否开具无犯罪证明需视具体情况而定。如果申请人确实未留下犯罪记录，但公安局拒绝开具证明，那么申请人可以通过向上级公安机关投诉、寻求法律援助或提起行政复议、行政诉讼等途径维护自己的合法权益。同时，也建议申请人在申请无犯罪证明时，提前了解相关规定和要求，确保申请材料的齐全和符合要求，以避免不必要的麻烦。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。