劳动仲裁后，公司若想起诉，通常基于以下几个主要理由：

1. 对仲裁裁决不服：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，除特定情形（如追索劳动报酬、工伤医疗费等不超过当地月最低工资标准十二个月金额的争议）外，当事人对仲裁裁决不服的，可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
   • 具体情形：公司可能认为仲裁裁决在事实认定、法律适用或程序上存在错误，导致裁决结果不公正或不合理。例如，仲裁庭可能错误地认定了公司的某些行为构成违法，或者错误地适用了法律条款，从而作出了对公司不利的裁决。

2. 仲裁裁决存在法定撤销情形：

   • 法律依据：同样根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》，用人单位有证据证明仲裁裁决存在特定情形（如适用法律、法规确有错误，劳动争议仲裁委员会无管辖权，违反法定程序，裁决所根据的证据是伪造的，对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据，仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为等）的，可以申请人民法院撤销裁决。
   • 操作方式：虽然这是针对用人单位申请撤销裁决的情形，但实质上，如果公司认为仲裁裁决存在上述问题，它可以通过向法院起诉的方式寻求救济，因为法院在审理过程中会对仲裁裁决进行全面审查。

3. 仲裁裁决未处理全部争议事项：

   • 具体情况：如果劳动争议涉及多个事项，而仲裁裁决仅处理了部分事项，对于未处理的事项，公司仍可以向法院提起诉讼。例如，劳动争议可能同时涉及工资支付、加班费、解除劳动合同的经济补偿等多个方面，而仲裁裁决可能只处理了其中的一部分。
   • 法律依据：虽然法律没有直接规定此种情形下必须向法院起诉，但从保护当事人合法权益的角度出发，法院应当受理此类案件，以确保所有争议事项都能得到妥善解决。

4. 其他需要法院审理的情形：

   • 特殊情况：除了上述明确规定的情形外，还可能存在一些特殊情况，如仲裁裁决执行过程中出现问题、仲裁裁决与其他生效法律文书相冲突等。在这些情况下，公司也可能需要向法院提起诉讼，以寻求进一步的法律救济。

法律建议：

• 如果公司决定对劳动仲裁裁决提起诉讼，它应当仔细审查仲裁裁决，确定是否存在上述可以提起诉讼的理由。
• 公司应当准备充分的证据来支持其诉讼请求，包括但不限于与争议事项相关的文件、记录、证人证言等。
• 在提起诉讼前，公司也可以考虑与劳动者进行协商，看是否能够达成和解协议，从而避免进一步的法律纠纷。

可能后果：

• 如果公司提起诉讼并成功获得法院的支持，那么仲裁裁决可能被撤销或修改，公司的权益可能得到保护。
• 如果公司提起诉讼但未能获得法院的支持，那么它可能需要履行仲裁裁决或承担进一步的法律责任。

希望这些信息能对你有所帮助。如果你有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。