当您认为医疗事故资质鉴定存在问题时，确实可以通过一系列合法且有效的途径来进行反驳和寻求公正处理。以下是我为您详细梳理的应对策略：

一、申请再次鉴定

适用情形：如果您对首次医疗事故技术鉴定结论持有异议，认为其存在程序违法、事实认定错误等实质性问题，那么您有权在收到鉴定书之日起15日内，向医疗机构所在地的卫生行政部门提出再次鉴定申请。

流程与注意事项：

• 提交书面申请书，详细说明您对原鉴定结论的不满理由，并附上相关证据材料。
• 省级医学会将组织专家重新审查所有证据材料，必要时可能会要求原鉴定机构补充材料或作出进一步说明。
• 再次鉴定是最终程序，其结论具有更强的法律效力，因此请务必确保您的申请理由充分且证据确凿。
• 逾期未申请再次鉴定，将被视为您认可首次鉴定结果。

二、向卫生行政部门投诉

投诉内容：

• 鉴定程序违规，如专家组成不合法、回避制度未得到落实等。
• 鉴定依据不充分，如关键病历资料缺失、检验报告存在造假嫌疑等。
• 鉴定结论明显违背医学常识或行业规范。

处理机制：

• 卫生行政部门将依法对您的投诉进行调查核实。
• 若发现鉴定过程存在重大瑕疵，卫生行政部门可能会要求原鉴定机构补充说明、启动重新鉴定程序，甚至对责任人员给予行政处罚。

三、通过法律途径解决

（一）提起民事诉讼

诉讼策略：

• 在医疗纠纷诉讼中，您可以同步申请司法鉴定以替代原有的事故鉴定。
• 向法院提交《重新鉴定申请书》，详细列明原鉴定存在的问题，并申请法院委托具备资质的司法鉴定机构进行独立鉴定。
• 通过质证程序，对原鉴定意见的证明力进行削弱，以支持您的诉讼主张。

法律依据：

• 根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第四十条，当事人对人民法院委托的鉴定意见有异议且符合法定情形的，可申请重新鉴定。

（二）启动行政诉讼

起诉条件与对象：

• 当卫生行政部门作出的鉴定结论直接影响您的权利义务时，您可以对具体行政行为提起诉讼。
• 被告为作出鉴定结论的卫生行政机关。
• 您需要证明行政行为存在超越职权、违反法定程序等违法情形。
• 注意行政诉讼的时效为知道或应当知道行政行为之日起6个月。

四、其他辅助措施

证据收集：

• 及时封存并复印完整的病历资料，包括医嘱单、护理记录等。
• 收集现场照片、视频等视听资料作为辅助证据。
• 申请证人出庭作证，如同期住院的患者或医护人员等。

专业支持：

• 咨询专业的医疗律师团队进行案情分析，获取法律建议。
• 委托专业的医疗损害鉴定机构出具独立意见书，以支持您的反驳主张。
• 参与医患调解委员会组织的第三方评估，寻求公正的调解结果。

综上所述，当您认为医疗事故资质鉴定存在问题时，可以通过申请再次鉴定、向卫生行政部门投诉、通过法律途径解决以及采取其他辅助措施等多种方式来进行反驳和寻求公正处理。希望这些建议能对您有所帮助。