结论前置：涉外仲裁与国内仲裁在案件性质、适用法律、程序规则及裁决执行等方面存在显著差异，而申请撤销这两类仲裁裁决的情形也有所不同。以下是对这些区别的详细阐述：

一、案件性质与主体差异

1. 涉外仲裁：

   • 涉及至少一方为外国当事人，或争议标的位于境外，如国际贸易合同纠纷。
   • 仲裁机构需具备处理国际法律事务的能力，部分机构要求仲裁员具有外语背景或国际法经验。

2. 国内仲裁：

   • 双方当事人均为中国公民或法人，且争议完全发生在境内，如本地建材购销合同纠纷。
   • 仲裁机构侧重熟悉本土法律法规的仲裁员，语言以中文为主。

二、适用法律与程序规则

1. 涉外仲裁：

   • 优先适用国际条约（如《纽约公约》）、国际惯例或双方约定的外国法律，同时兼顾冲突法规则。
   • 程序相对灵活，允许更灵活的文书送达方式（如电子邮件）、证据规则（如专家证人制度）和庭审语言选择。

2. 国内仲裁：

   • 严格遵循《中华人民共和国仲裁法》及国内实体法，不得直接适用外国法。
   • 程序相对固定，需符合法定形式要求（如书面通知期限）。

三、申请撤销仲裁裁决的情形

1. 国内仲裁裁决可撤销情形：

   • 没有仲裁协议或协议无效；
   • 裁决事项超出仲裁协议范围或仲裁委员会无权仲裁；
   • 仲裁庭组成或仲裁程序违反法定程序；
   • 裁决所依据的证据是伪造的；
   • 对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据；
   • 仲裁员存在索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为。

2. 涉外仲裁裁决可撤销情形（主要基于程序性问题）：

   • 合同中没有仲裁条款或事后没有达成书面仲裁协议；
   • 被申请人未得到指定仲裁员或仲裁程序的通知，或因其他原因未能陈述意见；
   • 裁决事项超出仲裁协议范围或仲裁机构无权仲裁。
   • 特别说明：涉外仲裁裁决的撤销还涉及到国际条约和互惠原则的适用问题，且法院主要审查程序方面，不干预实体内容。

四、裁决执行机制

1. 国内执行：

   • 涉外仲裁：依据《民事诉讼法》向中级人民法院申请承认与执行，需提供经认证的仲裁协议等文件。
   • 国内仲裁：直接向被执行人住所地或财产所在地基层法院申请执行，流程相对简化。

2. 国际执行：

   • 涉外仲裁：可凭《纽约公约》在160余个缔约国直接申请承认与执行，无需重新起诉。
   • 国内仲裁：需在目标国家另行启动司法程序，可能面临双重审查。

五、实际操作建议

当事人在申请撤销仲裁裁决时，应首先明确仲裁的性质（国内或涉外），然后根据相应的法律规定和撤销情形准备证据和材料。对于国内仲裁，需全面考虑程序和实体问题；对于涉外仲裁，则需重点关注程序性问题，并确保符合国际条约和国际惯例的要求。

总结：涉外仲裁与国内仲裁在多个方面存在显著差异，包括案件性质、适用法律、程序规则、申请撤销情形及裁决执行机制等。当事人在处理涉外或国内仲裁事务时，应充分了解这些区别，并根据具体情况选择合适的仲裁方式和策略。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。