当刑事拘留满37天后，具体的处理方式会根据案件的具体情况和证据情况来决定。以下是对此问题的详细解答：
一、可能的情况及处理方式
逮捕
- 条件：如果公安机关在37天的拘留期限内，收集到了充分的证据证明被拘留人有犯罪事实，并且认为其存在继续危害社会、逃跑等情形，那么公安机关会向人民检察院提请批准逮捕。检察机关在审查后，如果认为犯罪事实清楚，证据确实、充分，且依法应当追究刑事责任，那么将批准逮捕。
- 后续程序：一旦被逮捕，犯罪嫌疑人将继续被羁押在看守所，案件将进入进一步的侦查、起诉和审判阶段。此时，律师可以依法会见当事人，为其提供法律帮助。
变更强制措施
- 取保候审：如果被拘留人或其近亲属、法定代理人提出申请，并且符合取保候审的条件（如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的等），公安机关可以决定对其取保候审。取保候审期间，被取保候审人需遵守相关规定，如不得离开所居住的市、县，按时报到等。
- 监视居住：在某些特殊情况下，如被拘留人患有严重疾病、生活不能自理等，且不适宜继续羁押，公安机关可以决定对其监视居住。监视居住期间，被监视居住人的活动将受到一定限制，如不得会见他人、不得离开指定居所等。
释放
- 无罪释放：如果在拘留期限内，公安机关未能收集到足够的证据证明被拘留人有犯罪事实，或者认为其行为不构成犯罪，没有继续羁押的必要，那么公安机关应当立即释放被拘留人，并发给《释放证明》。
- 国家赔偿：如果因错误拘留导致被拘留人的人身自由受到损害，那么被拘留人有权依法申请国家赔偿。
二、法律依据与权利保障
- 关键法条：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关对被拘留人的最长羁押期限为37日。在期满前，公安机关必须作出处理决定，如逮捕、变更强制措施或释放。
- 救济途径：作为被拘留人或其家属，如果对公安机关的处理决定有异议，可以通过律师了解案情进展，对不当羁押可以向办案机关提出申诉或控告。必要时，还可以通过司法监督等途径来维护自身的合法权益。
三、建议与注意事项
- 及时咨询律师：在面对刑事拘留等法律问题时，及时咨询专业律师是非常重要的。律师可以为你提供专业的法律意见，帮助你了解相关法律规定和权益保障措施。
- 配合调查：如果被拘留人确实涉嫌犯罪，那么应该积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，争取从轻处理。
- 保持冷静：面对法律问题，保持冷静和理智是非常重要的。不要盲目恐慌或采取过激行为，以免给自己带来不必要的麻烦。
综上所述，刑事拘留满37天后，具体的处理方式将根据案件的具体情况和证据情况来决定。作为被拘留人或其家属，应当及时了解相关法律规定和权益保障措施，确保自身合法权益得到妥善维护。