公司在以下特定情况下开除员工无需支付赔偿金：

1. 试用期不符合录用条件
   根据《中华人民共和国劳动合同法》，若劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，用人单位可以解除劳动合同且无需支付赔偿金。关键点：用人单位需有明确的录用条件，并在试用期内对员工进行考核。例如，若招聘时明确了学历、技能证书或工作经验等要求，而劳动者提供了虚假材料或工作表现无法达到岗位设定的工作任务指标，则用人单位可依据此条款辞退员工。

2. 严重违反公司规章制度
   员工若严重违反用人单位的规章制度，用人单位同样有权解除劳动合同且不赔偿。前提条件：规章制度必须合法、合理且已向员工公示。例如，公司有明确规定禁止在工作场所吸烟，员工多次违规且不听劝阻，或连续旷工超过规定天数，均属于严重违反规章制度的情形。

3. 同时与其他用人单位建立劳动关系
   若劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，并对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出后拒不改正，用人单位可解除劳动合同且不支付赔偿金。典型情况：员工在全职工作期间又与其他公司建立劳动关系，导致本职工作频繁延误或质量下降，经多次提醒后仍不改正。

4. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危导致劳动合同无效
   劳动者若以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致劳动合同无效，用人单位有权辞退且无需赔偿。实例：劳动者伪造学历证书或工作经历等重要信息与用人单位签订劳动合同，即属于此类情况。

5. 严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害
   劳动者在工作中若存在严重失职行为，如因疏忽大意导致重大生产事故，或利用职务之便谋取私利、收取回扣等营私舞弊行为，给用人单位造成重大损害的，用人单位有权解除劳动合同且无需支付赔偿金。判断标准：这里的“重大损害”需要根据企业的规模、行业特点等因素来综合判断，并且用人单位需要有充分的证据来证明损害的存在和具体程度。

6. 被依法追究刑事责任
   劳动者若被依法追究刑事责任，包括被人民检察院免予起诉、被人民法院判处刑罚（包括主刑和附加刑）、被人民法院依据刑法相关规定免予刑事处分等情况，用人单位有权解除与其的劳动合同且无需支付赔偿金。

7. 劳动合同期满员工主动不续签
   除上述情形外，若是劳动合同期满，员工主动提出不再续签，双方互相也不必做任何补偿。这是基于劳动合同自愿原则，尊重双方的选择权。

法律建议：

• 公司角度：在开除员工时，需确保具备充足的证据来证实上述情况确实发生，以确保行为的合法性和正当性。同时，应严格按照法定程序操作，避免因程序违法而承担赔偿责任。
  
• 员工角度：应了解自身权益和义务，遵守法律法规和公司规章制度。若认为公司开除行为违法或不合理，可依法申请劳动仲裁或提起诉讼，维护自身合法权益。

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