在刑事拘留的第30天内，公安机关的处理权利主要依据案件的具体情况和相关法律规定来行使，具体处理方式如下：
提请人民检察院审查批准逮捕
- 适用情形：若公安机关经过侦查，认为有证据证明犯罪嫌疑人有犯罪事实，且可能判处徒刑以上刑罚，同时取保候审不足以防止其发生社会危险性，那么公安机关会在拘留期限届满前（即30天内）向同级人民检察院提请批准逮捕。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
- 后续流程：若人民检察院批准逮捕，公安机关会立即执行逮捕，并将执行情况及时通知人民检察院；若不批准逮捕，公安机关应当立即释放犯罪嫌疑人，并将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。
直接释放犯罪嫌疑人
- 适用情形：若公安机关侦查后发现证据不足，无法证明犯罪嫌疑人有犯罪行为，或者犯罪情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的，应当立即释放犯罪嫌疑人，并发给释放证明。
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国刑事诉讼法》，公安机关对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问。在发现不应当拘留的时候，必须立即释放，发给释放证明。
变更强制措施
- 适用情形：当犯罪嫌疑人符合取保候审或监视居住条件时，如患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，或者羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审或者监视居住的，公安机关可以变更强制措施。
- 具体措施：
- 取保候审：要求犯罪嫌疑人提出保证人或者交纳保证金，并出具保证书，保证其不逃避或妨碍侦查、起诉和审判，并随传随到。
- 监视居住：限令犯罪嫌疑人在规定的期限内不得离开住处或者指定的居所，并对其行为进行监视。
延长拘留手续（特殊情况）
- 适用情形：在特定情况下，如案件复杂、涉及面广、取证困难等，拘留期满30天且案件尚未侦查结束，需要继续侦查的，公安机关可以依法办理延长拘留手续。但需要注意的是，拘留期限一般不会超过37天（包括最初的3天和可能的延长34天，但实际操作中延长至37天的情况较为特殊且需严格审批）。
- 法律依据：虽然直接的法律条文可能并未明确提及“37天”这一具体数字，但根据《中华人民共和国刑事诉讼法》中关于拘留期限和提请批准逮捕时间的规定，可以推导出在特殊情况下拘留期限可能延长至37天的结论。
总结与建议：
刑事拘留的第30天是公安机关处理案件的一个重要节点。公安机关会根据案件的具体情况和相关法律规定，作出提请批准逮捕、直接释放、变更强制措施或延长拘留等处理决定。作为犯罪嫌疑人或其家属，在此阶段应密切关注案件进展，及时了解公安机关的处理决定，并在必要时寻求专业法律帮助，以确保自身权益得到妥善维护。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。