结论：男方两年累计给女方1万多元，在一般情况下，若这些款项属于赠与性质，则起诉要回的可能性较小；若存在特殊情形，如借款、附条件赠与等，则可能有机会要回部分或全部款项。以下从不同角度进行详细分析：
一、款项性质为赠与的情况
一般赠与：
- 如果男方给女方的款项属于一般赠与，即男方出于自愿、无偿地将款项给予女方，且没有附加任何条件或义务，那么根据《民法典》中关于赠与合同的规定，赠与合同一旦成立并生效，赠与人（男方）就不得随意撤销赠与，要求受赠人（女方）返还赠与的财产。
- 举例：男方在情人节、生日等特殊日子给女方发红包，或者平时给女方买礼物、转账等，如果没有明确表示是借款或附条件赠与，通常会被认定为一般赠与。
附条件赠与：
- 如果男方在赠与款项时附带了条件，如“以结婚为目的”的赠与，那么当条件不成就（如双方未结婚）时，男方有权要求女方返还赠与的财产。
- 法律依据：根据《民法典》及相关司法解释，附条件的赠与在条件不成就时，赠与人可以撤销赠与并要求返还财产。
- 举例：男方在恋爱期间明确表示，给女方的款项是为了将来结婚用的，如果双方最终没有结婚，男方可以要求女方返还这些款项。
二、款项性质为借款的情况
借款关系成立：
- 如果男方给女方的款项属于借款，即男方将款项借给女方，双方之间形成了借贷关系，那么男方有权要求女方按照约定的期限和方式返还借款。
- 法律依据：根据《民法典》中关于借款合同的规定，借款人应当按照约定的期限返还借款。对借款期限没有约定或者约定不明确，依据本法第五百一十条的规定仍不能确定的，借款人可以随时返还；贷款人可以催告借款人在合理期限内返还。
- 举例：男方给女方转账时明确备注为“借款”，或者双方签订了借款合同、借条等书面文件，那么这些款项就会被认定为借款，男方有权要求女方返还。
举证责任：
- 在借款关系中，男方需要承担举证责任，证明双方之间存在借贷关系，如提供转账记录、借款合同、借条等证据。
- 建议：如果男方认为给女方的款项属于借款，建议保留好相关证据，以便在需要时进行举证。
三、其他特殊情况
不当得利：
- 如果女方没有合法依据取得男方给予的款项，且给男方造成了损失，那么男方可以主张女方构成不当得利，要求女方返还这些款项。
- 法律依据：根据《民法典》中关于不当得利的规定，得利人没有法律根据取得不当利益的，受损失的人可以请求得利人返还取得的利益。
- 举例：如果女方通过欺骗、胁迫等手段获得男方的款项，或者男方误将款项转给女方，那么这些情况都可能构成不当得利。
诉讼时效：
- 无论男方选择以何种理由要求女方返还款项，都需要注意诉讼时效的问题。根据《民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
- 建议：如果男方决定起诉要求女方返还款项，建议尽快咨询专业律师，了解具体的诉讼时效和起诉流程。
总结与建议：
- 男方两年累计给女方1万多元，能否起诉要回取决于款项的性质和具体情况。
- 如果款项属于一般赠与，起诉要回的可能性较小；如果属于附条件赠与、借款或不当得利等特殊情况，则可能有机会要回部分或全部款项。
- 建议男方在决定起诉前，先咨询专业律师，了解具体的法律情况和诉讼策略。同时，保留好相关证据，以便在需要时进行举证。
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