结论：在父亲去世后，若想免交银行存款的公证费，通常需通过符合特定条件的小额遗产继承程序或利用其他法定免交情形来实现。以下为具体分析：
小额遗产继承程序：
- 条件：根据《关于简化提取已故存款人小额存款相关事宜的通知》，已故存款人在同一法人银行业金融机构的账户余额合计不超过1万元人民币（或等值外币，不含未结利息），其第一顺序继承人（配偶、子女、父母）可向银行业金融机构提出简化提取申请，无需办理继承权公证。部分地区或银行可能将这一限额提高至5万元，具体需咨询当地银行。
- 流程：继承人需提交死亡证明、亲属关系证明（如户口簿、出生证明等）、本人有效身份证件及书面承诺书，承诺承担相应法律责任。银行审核通过后，可直接办理存款提取或过户。
- 优势：无需支付公证费，流程简便，适合小额遗产继承。
法定免交公证费情形：
- 经济困难证明：若继承人因经济困难无力支付公证费，可向当地公证处申请法律援助或减免公证费。需提供低保证明、特困人员供养证明等材料，经公证处审核后决定是否减免。
- 特定关系免交：部分地区规定，配偶之间继承遗产或父母与子女之间继承小额遗产时，可免交公证费。但此情形需以当地公证处具体规定为准。
其他建议：
- 提前规划：若父亲健在，可考虑通过立遗嘱或设立家族信托等方式，提前规划遗产分配，避免继承纠纷及公证费用。
- 协商分配：若继承人之间关系和睦，可协商一致后，由部分继承人继承存款并支付其他继承人相应补偿，减少公证需求。
- 咨询银行：不同银行对小额遗产继承程序的具体要求可能有所不同，建议提前咨询父亲存款所在银行，了解具体流程及所需材料。
温馨提示：若遗产金额超过小额遗产继承限额，或继承人之间存在争议，仍需通过办理继承权公证或诉讼程序解决，此时公证费或诉讼费无法避免。如有进一步疑问或需具体指导，可直接向我咨询。