随意堆存建筑垃圾应由城市人民政府市容环境卫生主管部门负责处置，其法律依据主要来源于《城市建筑垃圾管理规定》等相关法规。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
《城市建筑垃圾管理规定》：
- 该规定明确指出，城市人民政府市容环境卫生主管部门负责本行政区域内建筑垃圾的管理工作，包括建筑垃圾的处置许可、监督管理和违法行为的查处等。
- 随意堆存建筑垃圾属于违法行为，城市人民政府市容环境卫生主管部门有权责令限期改正，给予警告，并对单位处以罚款；对个人也有相应的处罚措施。
其他相关法规：
- 除了《城市建筑垃圾管理规定》外，各地还可能根据实际情况制定了地方性法规或规章，对建筑垃圾的管理和处置作出更具体的规定。
- 这些法规或规章同样会明确建筑垃圾处置的责任主体和处罚措施。
二、责任主体
- 城市人民政府市容环境卫生主管部门：作为建筑垃圾管理的主要责任部门，负责建筑垃圾的处置许可、监督管理和违法行为的查处。
- 产生建筑垃圾的单位或个人：作为建筑垃圾的产生者，有责任按照规定将建筑垃圾运至指定的处置场所，不得随意堆存或倾倒。
三、法律后果
- 对单位：如果单位随意堆存建筑垃圾，城市人民政府市容环境卫生主管部门将责令其限期改正，给予警告，并处以罚款。罚款的数额根据违法行为的严重程度和当地法规的规定而定。
- 对个人：个人随意堆存建筑垃圾同样会受到处罚，包括警告和罚款。罚款的数额相对较低，但同样体现了法律对建筑垃圾管理的严格性。
四、建议与措施
- 加强宣传教育：通过媒体、社区宣传等方式，提高公众对建筑垃圾管理的认识，增强环保意识，减少随意堆存建筑垃圾的行为。
- 完善处置设施：政府应加大对建筑垃圾处置设施的建设投入，提高处置能力，为建筑垃圾的合法处置提供便利条件。
- 加强监管执法：城市人民政府市容环境卫生主管部门应加强对建筑垃圾处置的监管执法力度，对违法行为及时发现、及时查处，形成有效的震慑作用。
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