针对公职人员推倒老人这一事件，可以按照以下法律程序来处理：
及时报警并保护现场：
- 老人或其家属、在场目击者应立即向公安机关报案，说明事件发生的时间、地点、涉及人员及具体情况。
- 保护好现场，避免证据被破坏或丢失，如可能，应拍照或录像留存证据。
公安机关立案调查：
- 公安机关接到报案后，会依法进行立案调查，包括询问当事人、目击者，收集相关证据（如监控录像、医疗记录等）。
- 如果公职人员的行为涉嫌犯罪（如故意伤害罪），公安机关将依法进行刑事侦查。
伤情鉴定与医疗救治：
- 老人应及时前往医疗机构进行救治，并保留好所有医疗记录和费用单据。
- 根据需要，公安机关或老人及其家属可以委托专业机构进行伤情鉴定，以确定伤害程度，这将是后续法律程序中的重要证据。
法律责任追究：
- 行政责任：如果公职人员的行为违反了行政法规或单位规章制度，但未构成犯罪，其可能面临行政处分，如警告、记过、降级、撤职等。
- 刑事责任：如果公职人员的行为构成犯罪（如故意伤害罪），将依法被追究刑事责任，可能面临有期徒刑、拘役或罚金等刑罚。
- 民事责任：无论公职人员是否受到行政或刑事处罚，其都应对老人因受伤而产生的医疗费、护理费、误工费等经济损失承担民事赔偿责任。
提起诉讼或申请调解：
- 老人或其家属可以选择向人民法院提起民事诉讼，要求公职人员赔偿经济损失和精神损害。
- 在诉讼前或诉讼过程中，双方也可以选择通过调解方式解决纠纷，这通常更为快捷且成本较低。
监督与申诉：
- 如果对公安机关的处理结果或法院的判决有异议，老人或其家属可以依法向上级机关申诉或申请再审。
- 同时，也可以向相关监察机关反映公职人员的违法行为，要求其进行调查处理。
在整个法律程序过程中，建议老人或其家属寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到充分保障。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。