结论：父亲和继子如何断绝关系，取决于双方是否形成了抚养教育关系以及继子的年龄等具体情况。未形成抚养教育关系的，双方可自行决定不再往来；已形成抚养教育关系的，则不能随意解除，但在特定情况下可通过法律途径解决。

详细分析：

1. 未形成抚养教育关系的情况：

   • 法律关系：如果父亲（继父）与继子之间并未形成长期的共同生活和抚养教育关系，他们之间的法律关系主要基于姻亲关系。
   • 解除方式：在这种情况下，双方可以自行决定是否继续往来，实际上这相当于“断绝”了关系，且法律对此并不进行干涉。例如，如果继父只是偶尔与继子见面，没有承担抚养教育的责任，那么他们之间的关系就比较松散，可以随时选择不再联系。

2. 形成抚养教育关系的情况：

   • 法律关系：一旦父亲（继父）与继子之间形成了抚养教育关系，就产生了拟制血亲关系，这种关系在法律上等同于亲生父母子女关系。
   • 解除途径：
     • 协议解除：适用于继父与成年继子之间。双方需协商一致，签订书面协议明确解除关系的意愿及对相关问题的处理意见。建议对协议进行公证以增强法律效力。例如，继父和成年继子可能因为性格不合或生活理念差异等原因，决定解除继父子关系，他们可以通过协商并签订书面协议来实现。
     • 诉讼解除：当无法达成协议时，任何一方均可向人民法院提起诉讼。法院会综合考虑各种因素，如继子对继父的虐待、遗弃行为，或双方关系恶化且无法共同生活等。若法院认为存在法定解除事由，将判决解除双方的继父子关系。关系解除后，继子对继父的赡养义务可能根据具体情况而定。例如，如果继子对继父有严重的虐待行为，继父可以向法院提起诉讼，请求解除继父子关系。

3. 特殊情形：

   • 未成年人保护：若继子是未成年人，在一般情况下不能随意解除继父与继子关系，以免损害未成年人的权益。除非存在特殊情形（如生父母要求领回抚养等），并经法院判决，才可能解除。例如，如果继子未成年，且继父对其进行了抚养教育，那么继父就不能随意解除与继子的关系，除非生父母要求领回抚养，并且法院认为这符合未成年人的最佳利益。
   • 地区差异：不同地区的法律规定可能有所不同，因此在处理此类问题时需考虑当地的具体法律规定。例如，某些地区可能对继父子关系的解除有更具体的规定或程序要求。

建议与注意事项：

• 在决定断绝继子关系时，应充分考虑情感因素与法律责任的平衡，避免造成不必要的伤害和纠纷。毕竟，家庭关系涉及到情感、道德和法律等多个层面，需要谨慎处理。
• 如果双方无法自行协商解决问题，或者关系已经恶化到无法通过沟通解决的地步，可以寻求专业的法律帮助。作为专业律师，我可以根据具体情况提供详细的法律建议和帮助，确保解决方案的合法性和有效性。

总之，父亲和继子如何断绝关系是一个复杂的问题，需要根据具体情况和法律规定来选择合适的处理方式。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。