1. 核心结论：在单位意外险已赔付且对方全责的情况下，您仍可向全责方主张赔偿，但需注意避免重复获赔，具体处理方式需结合保险类型和事故性质综合判断。

2. 分情况说明：

   • 若单位意外险属于“补偿型”保险（如团体意外险）
     根据《保险法》第四十六条，被保险人因第三者（全责方）的行为发生保险事故的，保险人赔付后，您仍有权向第三者追偿。此时需注意：

     • 需向保险公司提供全责方的身份信息、事故责任认定书等材料，配合保险公司行使代位求偿权（即保险公司赔付后，取得向全责方追偿的权利）；
       
     • 若您已从全责方获得赔偿（如对方保险公司赔付），需将重复部分返还给单位意外险的保险公司，避免“双重获赔”的法律风险。

   • 若单位意外险包含“给付型”责任（如伤残津贴、死亡赔偿金）
     此类赔偿与全责方的侵权赔偿属于不同法律关系，可叠加主张。例如：

     • 全责方需赔偿医疗费、误工费、护理费等实际损失；
       
     • 单位意外险若约定了伤残津贴或死亡赔偿金，您可同时获得该笔款项，无需返还给全责方或保险公司。

3. 操作建议：

   • 第一步：固定证据
     保存事故责任认定书、医疗记录、单位意外险保单、赔付凭证等材料，明确全责方身份及赔偿范围。
     
   • 第二步：区分赔偿类型
     核对单位意外险的条款，确认赔付项目是否属于“补偿型”（如医疗费）或“给付型”（如伤残津贴），以此判断是否需向全责方追偿或可叠加主张。
     
   • 第三步：协商或诉讼
     若全责方拒绝赔偿，可凭证据向其保险公司或直接向法院起诉；若涉及保险公司代位求偿，需配合提供相关材料，避免影响自身权益。

4. 风险提示：

   • 避免签署“一次性了结协议”时放弃对全责方的追偿权，否则可能丧失后续主张权利的机会；
     
   • 若单位意外险赔付后，您未主动告知保险公司全责方信息，可能导致保险公司拒绝行使代位求偿权，进而影响您与保险公司的合同关系。

如有进一步细节（如保险条款内容、事故具体经过等），可直接向我咨询，我会结合具体情况为您分析。